人教A版必修4高中数学 311 两角差的余弦公式优质课教案Word下载.docx

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标题

课时

3.1.1

两角差的余弦公式

1课时

3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2课时

3.1.3

二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.2

简单的三角恒等变换

本章复习

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1两角差的余弦公式

整体设计

教学分析

本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:

①实际问题中存在研究像tan（45°

+α）这样的包含两个角的三角函数的需要;

②实际问题中存在研究像sinα与tan（45°

+α）这样的包含两角和的三角函数与α、45°

单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.

本节首先引导学生对cos（α-β）的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:

①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;

②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;

③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;

④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.

本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:

①要使学生了解公式的由来;

②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;

③使学生掌握公式的推导和证明;

④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.

三维目标

1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.

2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.

重点难点

教学重点:

通过探究得到两角差的余弦公式.

教学难点:

探索过程的组织和适当引导.

课时安排

教学过程

导入新课

思路1.（问题导入）播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:

单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.

思路2.（复习导入）我们在初中时就知道cos45°

=

cos30°

由此我们能否得到cos15°

=cos（45°

-30°

）=?

这里是不是等于cos45°

-cos30°

呢？

教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？

cos（α-β）等于什么呢？

这时学生急于知道答案,由此展开新课:

我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.

推进新课

新知探究

提出问题

①请学生猜想cos（α-β）=?

②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos（α-β）呢？

③利用向量的知识,又能如何推导发现cos（α-β）=?

④细心观察C（α-β）公式的结构,它有哪些特征？

其中α、β角的取值范围如何？

⑤如何正用、逆用、灵活运用C（α-β）公式进行求值计算？

活动:

问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos（α-β）=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°

β=30°

则cos（α-β）=cos30°

而cosα-cosβ=cos60°

这一反例足以说明cos（α-β）≠cosα-cosβ.

让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.

问题②,既然cos（α-β）≠cosα-cosβ,那么cos（α-β）究竟等于什么呢？

由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？

图1

如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线,即OM=cos（α-β）,这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cosβ,AP表示sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα,所以,cos（α-β）=cosαcosβ+sinα

sinβ.

教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>

β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图2

问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?

如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则

=（cosα,sinα）,

=（cosβ,sinβ）,∠AOB=α-β.

由向量数量积的定义有

·

=|

||

|·

cos（α-β）=cos（α-β）,

由向量数量积的坐标表示有

=（cosα,sinα）（cosβ,sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ,

于是,cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π）,使cosθ=cos（α-β）,若θ∈［0,π］,则

=cosθ=cos（α-β）.若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且

=cos（2π-θ）=cosθ=cos（α-β）.

由此可知,对于任意角α、β都有

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（C（α-β））

此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C（α-β）.有了公式C（α-β）以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos（α-β）的值了.

问题④,教师引导学生细心观察公式C（α-β）的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:

cos（A-B）=__________,cos（θ-φ）=

__________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos（α-β）的值了.

问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°

cos45°

+sin75°

sin45°

=cos（75°

-45°

）=cos30°

cosα=cos［（α+β）-β］=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ.

讨论结果:

①—⑤略.

应用示例

思路1

例1利用差角余弦公式求cos15°

的值.

先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°

它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°

=45°

或者15°

=60°

从而就可以直接套用公式C