线性代数试题精选与精解含完整试题与详细答案考研数学基础训练文档格式.docx
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，则D1的值为（ ）
A．-15B．-6
C．6D．15
答案：
C。
2.计算行列式
=（）
A.-180B.-120
C.120D.180
【答案】A
【解析】本题考查了行列式的计算。
行列式可以根据任意一行（列）展开。
一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。
本题，按第三列展开，有：
【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。
【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。
近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。
需重点掌握。
☆☆☆☆☆。
（2008,1）11.若
则k=_______.
1/2。
3.若A为3阶方阵且|A-1|=2，则|2A|=（）
A.
B.2
C.4D.8
【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。
由于
由已知|A-1|=2，从而
，所以
。
【提醒】牢记公式：
，
，以及由
推出的
其中n为A的阶数。
【点评】本题涉及内容是矩阵行列式的运算性质，需重点掌握。
（2008,4）4．设A为n阶方阵，n≥2，则
=（ ）
A．（-5）n
B．-5
C．5
D．5n
A。
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（）
A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
【答案】B
【解析】本题考查了向量组线性相关性。
由结论可知，向量组中向量的个数大于维数，则此向量组线性相关。
本题中，向量个数4，维数3，故线性相关。
【提醒】请记住判断向量组线性相关与否的结论。
如：
向量组的个数如果和维数相同的话，可以通过计算以这些向量为行（列）组成的行列式的值，如果值为零，则原向量组线性相关，否组线性无关。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择和计算题中。
（2008,7）5.已知向量组A：
中
线性相关，那么（ ）
线性无关B.
线性相关
C.
可由
线性表示D.
线性无关
B。
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r（A）=（）
A.2B.3
C.4D.5
【解析】本题考查了齐次线性方程组Ax=0的基础解系的性质：
基础解系中解向量的个数为未知数的个数减去A的秩。
本题中，未知数的个数为6，基础解系中解向量的个数为2。
由结论可知，A的秩为4。
【提醒】另外要牢记基础解系的含义：
首先，基础解系中每个向量都是解向量，它们是线性无关的；
其次，方程组的所有解可以由它们线性表出。
【点评】本题涉及内容是大纲要求的重点内容，每年必考的，常出现在选择和计算题中。
（2010,1）6.设A是4×
6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）
A.1B.2
C.3D.4
D。
6.设A、B为同阶方阵，且r（A）=r（B），则（）
A.A与B相似B.|A|=|B|
C.A与B等价D.A与B合同
【解析】本题考查了矩阵相似、等价与合同等概念的区别。
因为r（A）=r（B），故A、B通过初等变换可以互相转化，从而A与B是等价的。
【提醒】
（1）若A,B为同型矩阵，A通过初等变换可以转化为B，则称A与B等价。
（2）若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。
相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值。
（3）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。
若A与B合同，则它们也是等价的。
【点评】这些概念与相关性质几乎是每年必考的，常出现在选择和填空题中。
（2008,7）7.若A与B相似，则（ ）
A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量
C.A-λE=B-λED.|A|=|B|
7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=（）
A.0B.2
C.3D.24
【答案】D。
【解析】本题考查了特征值的性质。
已知A为3阶方阵，特征值分别为2,1,0，根据性质：
，可得，A+2E的特征值为2+2，1+2,0+2，即：
4,3,2。
再根据性质：
若n阶矩阵A的特征值为
，则
，可得，|A+2E|=4╳3╳2=24。
；
【点评】本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。
（2008,7）18.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3.则|A+E|=___________.
24。
（2010,1）9.设矩阵A=
的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3=（）
A.4B.5
C.6D.7
B
8.若A、B相似，则下列说法错误的是（）
A.A与B等价B.A与B合同
C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值
【解析】本题考查了相似矩阵的性质。
首先，相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值；
其次，由定义，A与B相似则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B。
因为可逆矩阵P-1和P都能写成若干初等矩阵的乘积，而左乘初等矩阵相当于相应行变换，右乘初等矩阵相当于相应列变换，由P-1AP=B可知，A通过若干初等变换可以互相转化为B，从而A与B是等价的。
用排除法可知本题选B。
（1）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。
若A与B合同或相似，则它们也是等价的，反之不一定成立。
（2）若存在正交矩阵P，使得P-1AP=B，则可以得到A,B合同。
【点评】本题与上面的第6题都考察了矩阵等价、合同、相似等概念和性质，这些内容需重点掌握，常出现在选择和填空题中。
（2007,10）8．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则|B-1|=（ ）
A．
B．
C．7D．12
9.若向量α=（1，-2,1）与β=（2，3，t）正交，则t=（）
A.-2B.0
C.2D.4
【解析】本题考查了向量的正交性。
如果
，则向量
正交。
向量α=（1，-2,1）与β=（2，3，t）正交，由
得，
，解得
【提醒】3维向量正交性和空间解析几何中的向量垂直是相同的。
记得什么是正交矩阵吗？
【点评】本题涉及内容近年常考，多出现填空中。
☆☆☆☆。
【历年考题链接】
（2008,7）9.下列向量中与
=（1，1，-1）正交的向量是（ ）
A.
=（1，1，1）B.
=（-1，1，1）
C.
=（1，-1，1）D.
=（0，1，1）
D
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（）
A.A正定B.A半正定
C.A负定D.A半负定
【答案】B。
【解析】本题考查了实对称矩阵正定性的判定。
n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
【提醒】n阶对称矩阵A正定的另一个充分必要条件是：
A的n个顺序主子式全大于零。
【点评】正定性的判定是考察的重点。
本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。
（2007,10）20．若实对称矩阵A=
为正定矩阵，则a的取值应满足_____________.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设A=
B=
，则AB=_________________.
【答案】
【解析】本题考查了矩阵的乘法运算。
将A中的第i行元素分别与B中的第j列对应元素相乘相加就得到新矩阵的第i行第j列元素，因此AB=
=
【提醒】只有当A的列数和B的行数相同的话，A，B才能相乘。
另外，矩阵的乘法运算性质也要牢记（特别矩阵乘法不满足交换律）。
【点评】矩阵乘法运算属基本技能，是考试热点，多出现在填空中，也有在计算题里。
考试热度：
（2008,1）12.设A=
则AB=___________.
12.设A为3阶方阵，且|A|=3，
则|3A-1|=______________.
【答案】9。
【解析】本题与第3题考查内容基本相同。
【提醒】见第3题。
【点评】见第3题。
13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.
为任意常数）。
【解析】本题考察的是线性方程组通解的求法。
简述如下：
先用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯型矩阵，找到系数矩阵的秩，看增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等，若是，说明有解，否则无解；
有解时，若系数矩阵的秩小于未知数个数，则方程组有无穷多解，存在基础解系；
此时，确定自由未知量的个数并选定自由未知量（未知数的个数减去系数矩阵的秩），将所有向量用自由未知量表示出来，写成矩阵形式，即可得通解。
本题，系数矩阵秩为1，自由未知量个数为3-1=2，选定自由未知量x2，x3，则有：
为任意常数），上式即为通解（其中任意常数x2，x3可以换成k1，k2）。
【提醒】取自由未知量时，注意其取值的“任意性”。
【点评】本题涉及内容是本课程的考察重点之一，要重点掌握。
历年试题的选择填空题中，出现的线性方程组一般较简单，而计算中稍复杂，重在考察它的解法。
（2008,1）16.方程组
的通解是_____.
k1
+k2
（其中k1，k2为任意常数）。
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.
【解析】本题考查了向量的单位化运算。
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