必修2第1章第1节内切球外接球汇总Word文档格式.docx

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V＝Sh

正棱锥

S侧＝

Ch′

Sh

正棱台

（C＋C′）h′

）h

球

S球面＝4πR2

πR3

2.几何体的表面积

（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；

它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

求几何体体积的两种重要方法

1．割补法：

求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．

2．等积法：

等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了具体通过作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．

处理球的“内切”“外接”问题

一、球与棱柱的组合体问题：

1正方体的内切球：

设正方体的棱长为

，求

（1）内切球半径；

（2）与棱相切的球半径。

（3）外接球半径；

（1）截面图为正方形

的内切圆，得

；

（2）与正方体各棱相切的球：

球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆

为正方形

的外接圆，易得

。

（3）

正方体的外接球：

正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面

作截面图得，圆

为矩形

注解：

长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，

则2R＝

.

典题导入

[例]　

（1）（2013·

福建卷）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是______________．

解析　

（1）由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2

，即为球的直径．所以球的表面积为S＝4π·

2＝12π.答案　

（1）12π

（2）（2013·

辽宁卷）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（　　）．

A.

B．2

C.

D．3

解析　

（2）因为在直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径，取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2r＝

＝13，即r＝

.答案　

（2）C

由题悟法

1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．

2．长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，

以题试法

1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为。

2.（2014陕西）已知底面边长为1，侧棱长为

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

B．4πC．2πD.

3.（2012辽宁）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2

的正方形．若PA＝2

，则△OAB的面积为________．

4.（2012·

潍坊模拟）已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝

，则球O的体积等于________．

5.在球面上有四个点

、

.如果

两两互相垂直，且

求这个球的表面积是______.

6．设

是球

面上的四点,且

两两互相垂直,若

则球心

到截面

的距离是.

7.一个四面体的所有棱长都为

，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

参考答案

答案：

解析：

因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝

＝1，所以V球＝

×

13＝

.故选D.

把球O的内接四棱锥还原为长方体，则球O的直径为长方体的体对角线，则（2R）2＝（2

）2＋（2

）2，可得R2＝12.△OAB中，设AB边上的高为h，则h2＝R2－（

）2＝9，则h＝3，所以S△OAB＝

2

3＝3

如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝

＝2R，所以R＝

.故球O的体积V＝

π.

3πa2

8.在正三棱锥

中，侧棱

，侧棱

，

则此正三棱锥的外接球的表面积为

【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

】

例：

若一个底面边长为

，侧棱长为

的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．

【解】　在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，

则BE＝2OE＝2DE，∴BE＝

，在Rt△BEE1中，BE1＝

＝2

∴2R＝2

，则R＝

∴球的体积V球＝

πR3＝4

π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.

练习：

1.若一个底面边长为

，棱长为

的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．

例.已知底面边长为

正三棱柱

的六个顶点在球

上，又知球

与此正三棱柱的5个面都相切，求球

与球

的体积之比与表面积之比。

分析：

先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：

如图6，由题意得两球心

是重合的，过正三棱柱的一条侧棱

和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为

，则

，正三棱柱的高为

，由

中，得

1.一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点）,则此内切球与外接球表面积之比为。

二棱锥的内切、外接球问题

（1）

例.正四棱锥

，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少

1．勾股定理，垂径定理．

2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

1.半径为

的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为．

二棱锥的内切、外接球问题

（2）

说明：

球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径

．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．

例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

如图1所示，设点

是内切球的球心，正四面体棱长为

．由图形的对称性知，点

也是外接球的球心．设内切球半径为

，外接球半径为

．

在

中，

，即

，得

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为

（

为正四面体的高），且外接球的半径

，从而可以通过截面图中

建立棱长与半径之间的关系。

例.正三棱锥

，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少

1.正三棱锥的高为3，底面边长为

，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为．

歪锥体有关的球的问题

[例]　（2011辽宁，5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝

，∠ASC＝∠BSC＝30°

，则棱锥S－ABC的体积为（　　）

A．3

D．1

由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝

x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°

，所以∠DCB＝∠DCA＝60°

，在△BDC中，BD＝

（4－x），所以

x＝

（4－x），所以x＝3，AD＝BD＝

，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝

S△ABD×

4＝

.答案：

C

3．

（1）点A、B、C、D在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为（　　）

A．32

πB．48πC．64

πD．16

π

（2）（2012·

琼州模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（　　）

A．2

πB.

C．4

D.

（3）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

4.三棱锥

的两条棱

其余各棱长均为

，求三棱锥的内切球半径.

3．

（1）点A、B、C、D在同一球面上