高等代数北大版课件4.2矩阵的运算PPT文档格式.ppt
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,三、数量乘法,一、加法,二、乘法,四、转置,4.2矩阵的运算,1定义,设则矩阵,称为矩阵A与B的和,记作即,一、加法,说明,例如,只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.,
(1)交换律,
(2)结合律,(3),(4),定义,2性质,3减法,设则矩阵,其中,称为与的积,记为,1定义,二、乘法,乘积有意义要求A的列数的行数.,乘积中第行第列的元素由的第行,乘的第列相应元素相加得到,注意,如,不存在.,例1线性方程组,令,则
(1)可看成矩阵方程,而无意义,例2,例3,例4,注意,未必,若,称A与B可交换,一般地,,即且时,有可能,未必有或,2矩阵乘法的运算规律,(5),(结合律),(分配律),证:
@#@1)设,令,其中,的第i行第l列元素为,的第i行第l列元素为,结合律得证.,设为级方阵定义,称为的次幂.,3矩阵的方幂,定义,个,(3)一般地,性质,解:
@#@,例5设求,由此归纳出,用数学归纳法证明之.,当时,显然成立.,假设时成立,则时,,故对于任意都有,称为矩阵A与数k的数量乘积记作:
@#@,三、数量乘法,1定义,设则矩阵,即,2性质,注:
@#@矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的线性运算.,(6)若A为n级方阵,,(数量矩阵与任意矩阵可交换),(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法),设的转置矩阵是指矩阵,记作或,四、转置,1定义,2性质,(5)若为方阵,则,(3)证:
@#@,设,中的元素为,从而中的元素为,中的元素为,又的第i行元素为,的第j列元素为,设n级方阵,
(1)若满足即,3对称矩阵反对称矩阵,定义,则称A为对称矩阵;@#@,
(2)若满足即,则称A为反对称矩阵.,性质,
(2)对称,对称;@#@,反对称,反对称,
(1)对称对称;@#@,反对称反对称,(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零,为奇数时,,i)对称,积对称吗?
@#@,想一想,ii)反对称,积反对称吗?
@#@,皆为n级对称矩阵,,对称,证:
@#@,若AB对称,则有,反过来,若AB=BA,则有,所以AB对称.,例8设A为n级实对称矩阵,且,证明:
@#@,证:
@#@,设,又皆为实数,练习,1设列矩阵满足,H是对称矩阵,且,2已知,求,1证:
@#@,2解:
@#@,附:
@#@共轭矩阵,运算性质,(设为复矩阵,为复数),