1、,三、数量乘法,一、加法,二、乘法,四、转置,4.2 矩阵的运算,1定义,设 则矩阵,称为矩阵A与B的和,记作 即,一、加法,说明,例如,只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.,(1)交换律,(2)结合律,(3),(4),定义,2性质,3减法,设 则 矩阵,其中,称为 与 的积,记为,1定义,二、乘法,乘积 有意义要求 A 的列数 的行数.,乘积 中第 行第 列的元素由 的第 行,乘 的第 列相应元素相加得到,注意,如,不存在.,例1 线性方程组,令,则(1)可看成矩阵方程,而 无意义,例2,例3,例4,注意,未必,若,称A与B可交换,一般地,,即 且 时,有可能,未必有 或,2矩阵乘
2、法的运算规律,(5),(结合律),(分配律),证:#1)设,令,其中,的第 i 行第 l 列元素为,的第 i 行第 l 列元素为,结合律得证.,设 为 级方阵 定义,称 为 的 次幂.,3矩阵的方幂,定义,个,(3)一般地,性质,解:#,例5设 求,由此归纳出,用数学归纳法证明之.,当 时,显然成立.,假设 时成立,则 时,,故对于任意 都有,称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积记作:#,三、数量乘法,1定义,设 则矩阵,即,2性质,注:#矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的 线性运算.,(6)若 A 为 n 级方阵,,(数量矩阵与任意矩阵可交换),(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法
3、),设 的转置矩阵是指矩阵,记作 或,四、转置,1定义,2性质,(5)若 为方阵,则,(3)证:#,设,中 的元素为,从而 中 的元素为,中的 元素为,又的第 i 行元素为,的第 j 列元素为,设 n 级方阵,(1)若 满足 即,3对称矩阵反对称矩阵,定义,则称 A 为对称矩阵;#,(2)若 满足 即,则称 A 为反对称矩阵.,性质,(2)对称,对称;#,反对称,反对称,(1)对称 对称;#,反对称 反对称,(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零,为奇数时,,i)对称,积 对称吗?#,想一想,ii)反对称,积 反对称吗?#,皆为 n 级对称矩阵,,对称,证:#,若AB对称,则有,反过来,若AB=BA,则有,所以 AB 对称.,例8 设 A 为 n 级实对称矩阵,且,证明:#,证:#,设,又 皆为实数,练习,1 设列矩阵 满足,H 是对称矩阵,且,2 已知,求,1 证:#,2 解:#,附:#共轭矩阵,运算性质,(设 为复矩阵,为复数),