最新二项式定理知识点总结文档格式.docx
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二项展开式的通项
是二项展开式的第
项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用
对通项
的理解：
（1）字母
的次数和组合数的上标相同
（2）
与
的次数之和为
（3）在通项公式中共含有
这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
例1．
等于（）
A．
B。
C。
D.
例2．
（1）求
的展开式的第四项的系数；
（2）求
的展开式中
的系数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：
①对称性：
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
②增减性与最大值：
在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即
偶数：
；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即
③二项展开式的各系数的和等于
，令
，
即
④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令
例题：
写出
的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项和系数最小的项；
（4）二项式系数的和；
（5）各项系数的和
4、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式
的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。
求多项式
的展开式
（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。
求
的系数
（1）如果在
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
（2）求
的展开式的常数项。
【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定
已知
，求：
（1）
（2）
（3）
.
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面：
（1）进行近似计算
（2）证明某些整除性问题或求余数
（3）证明有关的等式和不等式。
如证明：
取
的展开式中的四项即可。
2、各种问题的常用处理方法
（1）近似计算的处理方法
当n不是很大，|
|比较小时可以用展开式的前几项求
的近似值。
的计算结果精确到0.01的近似值是（）
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34
（2）整除性问题或求余数的处理方法
①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数
的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的
通常为
1，若
为其他数，则需对幂的底数
再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数的范围，对给定的整数
，有确定的一对整数
和
，满足
，其中
为除数，
为余数，
，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数
除以7所得的余数
若
为奇数，则
被9除得的余数是（）
A．0B。
2C。
7D.8
当
且
>
1，求证
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定
综合测试
一、选择题：
本大题共
12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在
的展开式中，
的系数为（）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
的展开式按a的降幂排列，其中第n
项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）
A．4B．9C．10D．11
3．已知（
的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）
A．10B．11C．12D．13
4．5310被8除的余数是（）
A．1B．2C．3D．7
5．（1.05）6的计算结果精确到0.01的近似值是（）
6．二项式
（n
N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 （）
A．1B．2
C．3D
．4
7．设（3x
+x
展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=2
72，则展开式的x
项的系数是（）
B．1C．2D．3
8．在
A．4B．5C．6D．7
9．
展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是
（）
A．330B．462C．680D．790
10．
的系数为（）
A．－40B．10C．40D．45
11．二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为
，则x在[0，2π]内的值为（）
或
C．
12．在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3n－5的（）
A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项
二、填空题：
本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.
13．
展开式中
的系数是.
14．若
的值为__________.
15．若
的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是
.
16．对于二项式（1-x）
，有下列四个命题：
①展开式中T
=－C
x
②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，（1-x）
除以2000的余数是1．
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：
本大题满分74分.
17．（12分）若
展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（２）此展开式中是否有常数项，为什么？
18．
（12分）已知（
）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系
数．
19．（12分）是否存在等差数列
，使
对任意
都成立？
若存在，求出数列
的通项公式；
若不存在，请说明理由．
根据调查资料分析：
大学生的消费购买能力还是有限的，为此DIY手工艺品的消费不能高，这才有广阔的市场。
4、“体验化”消费
20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？
2、Google网站www。
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“碧芝”隶属于加拿大的ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司。
这家公司原先从事首饰加工业，自助首饰的风行也自西方，随着人工饰品的欣欣向荣，自制饰品越来越受到了人们的认同。
１９９６年'
碧芝自制饰品店'
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21.（12分）设f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m、n
），若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：
m、n取何值时，f（x）的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.
图1-1大学生月生活费分布
标题：
大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日22．（14分）规定
，其中x∈R，m是正整数，且
，这是组合数
（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求
的值；
（2）设x>
０，当x为何值时，
取得最小值？
（3）
组合数的两个性质；
（4）信息技术优势①
. ②
（一）DIY手工艺品的“多样化”是否都能推广到
（x∈R，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；
若不能，则说明理由.
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