概率论数理统计ChWord格式.docx
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的数学期望，或期望，或均值。
例4.1.1（0-1分布）设
的分布列为
，
则
例4.1.2（二项分布）设
服从二项分布
，其分布列为
其中
，
=
例4.1.3（泊松分布）设
服从泊松分布
，则
=
因而：
服从泊松分布的随机变量由它的数学期望所唯一确定。
对于连续型随机变量
定义4.1.2设
为具有密度函数
的随机变量，若
（4.1.3）
的数学期望。
例4.1.4（均匀分布）设
服从
上的均匀分布，密度函数为
例4.1.5（正态分布）设
，密度函数为
（令
）
二.随机变量的函数的数学期望
定理4.1.1设
是一个连续的实函数，
（1）若
为离散型随机变量，分布列为
且
则
（4.1.4）
（2）若
是连续型随机变量，密度函数为
（4.1.5）
（3）若
为离散型随机向量，联合分布列为
的数学期望
存在，并且
（4.1.6）
（4）若
为连续型随机向量，分布密度为
，且
（4.1.7）
（3），（4）可推广到
维随机向量的情形.
三.数学期望的性质
数学期望具有如下性质：
（1）
为常数；
（2）
，其中
存在，则
；
与
独立且
.
性质（3），（4）可推广到n个随机变量的情形.
其中性质（3）对计算期望很有用处，基本思想是：
当直接计算
的数学期望有困难时，可考虑将
分解成若干个随机变量的和，
而每个
的期望值是容易求出的。
然后利用性质（3）即可求出
。
例4.1.10设
件产品中含有
件次品，依次从中不返回抽取
件产品，试求抽出的
件产品中所含次品数
解设
表示第
次抽取产品取到的次品数，则抽出的
件产品中所含次品数为
不难看出，对所有
，可得
{抽到的第i件产品是次品}
{抽到的第i件产品不是次品}
即
从而
于是由性质（3）得
注意，这里
服从超几何分布
若直接用定义计算
的期望则显然要麻烦得多。
例4.1.11设对某目标连续射击，直到击中
次为止，各次射击独立，且每次击中目标的概率为
，试求子弹的平均消耗量。
次击中目标子弹的消耗量为
等于每次击中目标子弹消耗量之和。
若用
次击中至第
次击中目标所消耗的子弹数，那么
而
服从几何分布列
，并且
由性质（3）得
4.2方差和矩
一.方差的定义和性质
定义4.2.1设
是随机变量，若
存在，则称它为随机变量
的方差，记为
方差的算术根
称为标准差（或均方差，或根方差）.
若已知随机变量
则由（4.1.4）知
（4.2.1）
的分布密度为
，则由（4.1.5）知
（4.2.2）
在计算
时，有时用下面的公式比较方便：
（4.2.3）
事实上，由数学期望的性质有
例4.2.1设
服从0-1分布，试求
解
利用（4.1.9），有
由前面知
，因此由（4.2.3）得
例4.2.2设
，试求DX.
同理可得
又
，因此得
由于二项分布由两参数
和
所决定（亦即，
给定后，二项分布唯一地确定），而由上面结论可知，当
的值给定后，
便唯一地确定。
故可知服从二项分布的随机变量的分布列，由它的数学期望和方差所唯一确定。
例4.2.3设
服从参数为
的泊松分布，试求
解由前已知
，又
故
由此可以看到，泊松分布中的参数既是数学期望又
是方差。
例4.2.4（均匀分布）设随机变量
的密度函数为
试求
解由前面知
例4.2.5设
，试求
，再由方差定义得
令
，并用分部积分法得
由此可知，正态分布中的参数
就是其方差。
这说明了参数
反映了随机变量取值与均值之间的离散程度。
下面讨论随机变量方差的性质，为简单起见，我们认为所涉及的随机变量的方差都存在。
方差具有如下的性质：
（其中C为任意常数）
（１）
（２）
（３）
（４）若
相互独立，则
（5）
二.矩
数学期望和方差是概率论中最重要的数字特征，而更一般的数字特征是矩，其中最常用的是原点矩和中心矩。
事实上，数学期望和方差都是某种矩，矩在概率论与数理统计中有着显著的地位。
定义4.2.2设
是随机变量，
是一正整数，若
存在，则称它为
的
阶原点矩，记为
若
阶绝对原点矩，记为
阶中心矩，记为
阶绝对中心矩，记为
三.常见不等式
定理4.2.1（马尔可夫不等式） 若随机变量
阶绝对矩
存在，则对任意
，有
（4.2.6）
证明仅证连续型情形，离散型情形类似．设
证毕
推论4.2.1（车贝晓夫不等式）若随机变量
的方差
（4.2.7）
或等价地
证明在（4.2.6）中，将
换成
，并取
即得。
推论4.2.2若
以概率1等于它的数学期望，即
定理4.2.2（柯西—许瓦兹不等式） 若随机变量
的二阶原点矩存在，则
（4.2.8）
其中等号成立的充要条件是，存在常数
，使得
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