（A）（B）（C）（D）
（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3π（B）4π（C）（D）6π
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）不等式的解集是．
（14）展开式中x9的系数是．
（15）在平面几何里，有勾股定理：
“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：
“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则”．
（16）如图,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）
三、解答题：
本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线;
（Ⅱ）求点D1到面BDE的距离．
（18）（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|．
（19）（本小题满分12分）
已知a>0，a≠1,设
P：
函数y＝loga（x＋1）在x∈（0，＋∞）内单调递减．
Q：
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与轴交于不同两点．
如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
（21）（本小题满分14分）
已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图）．问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？
若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由．
（22）（新课程）（本小题满分14分）
设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1（n∈N+）．
（Ⅰ）证明对任意n≥1，；
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学参考答案
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1）C
（2）D（3）C（4）C（5）B（6）D
（7）A（8）C（9）B（10）D（11）C（12）A
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
（13）（14）（15）（16）72
三、解答题：
（17）本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．满分12分．
（I）证明：
取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF⊥CC1，又CM⊥面DBD1，
∴EF⊥面DBD1，∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1，
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（II）解：
连结ED1，有
由（I）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBE·d=S△DED·EF．
∵AA1=2，AB=1．
．
∴
故点D1到平面BDE的距离为．
（18）本小题主要考查复数模、辐角和等比中项的概念，考查运算能力，满分12分．
解：
设z=
．
由题设
即，
∴
整理得．
解得（舍去）．
即|z|=．
（19）本小题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基础知识，考查分析和判断能力，满分12分．
解：
当0＜a＜1时，函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内单调递减，
当a＞1时，函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内不是单调递减；
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与轴交于不同两点等价于（2a－3）2－4＞0，
即或﹒
情形（ⅰ）如果P正确，且Q不正确，即函数y＝loga（x＋1）在x∈（0，＋∞）内单调递减，曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与轴不交于两点．因此即﹒
情形（ⅱ）如果P不正确，且Q正确，即函数y＝loga（x＋1）在x∈（0，＋∞）内不是单调递减，曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与轴交于两点．因此即﹒
综上a的取值范围为
（20）本小题主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根据所给条件选择适当坐标系和圆的方程等基础知识，考查运用所学知识解决实际问题能力，满分12分．
解法一：
设在时刻t（h）台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60（km）．
若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则
OQ≤10t＋60．
由余弦定理知
由于PO＝300，PQ＝20t，
cos∠OPQ＝cos（θ－45°）
＝cosθcos45°＋sinθsin45°
故
因此218t2－9600t＋3018≤（10t＋60）2，
即t2－36t＋288≤0，
解得12≤t≤24．
答：
12小时后该城市开始受到台风的侵袭．
解法二：
如图建立坐标系：
以O为原点，正东方向为x轴正向，在时刻t（h）台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区城是
其中r（t）＝10t+60．
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
≤（10t＋60）2，
即t2－36t＋288≤0，
解得12≤t≤24．
答：
12小时后该城市开始受到台风的侵袭．
（21）本小题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分．
解：
根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）．
设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）．
直线OF的方程为：
2ax＋（2k－1）y＝0，①
直线GE的方程为：
－a（2k－1）x＋y－2a＝0．②
从①、②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2＋y2－2ay＝0．
整理得
当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．
当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长．
当时，点P的椭圆两个焦点的距离之和为定值
当时，点P的椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．
（22）本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分．
（Ⅰ）证法一：
（ⅰ）当n＝1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ⅱ）假设当n＝k（k≥1）等式成立，即
，
那么
，
也就是说，当n＝k+1时，等式也成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ），可知等式对任何n∈N+成立．
证法二：
如果设an－3n=－2（an－1－3n－1），
用代入，可解出．
所以是公比为－2，首项为的等比数列．
∴（n∈N+），
即．
（Ⅱ）解法一：
由an通项公式
，
∴an>an－1（n∈N+）等价于
（n∈N+）．①
（ⅰ）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为．②
②式对k＝1，2，…都成立，有
．
（ⅱ）当n＝2k，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为．
③式对k＝1，2，…都成立，有
．②
综上，①式对任意n∈N+成立，有．
故a0的取值范围为（0，）．
解法二：
如果an>an－1（n∈N+）成立，特别取n＝1，2有
a1－a0=1－3a0>0，
a2－a1=6a0>0，
因此．
下面证明当时，对任意n∈N+，有an－an－1>0．
由an通项公式
．
（ⅰ）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，
＝0．
（ⅱ）当n＝2k，k＝1，2，…时，
≥0．
故a0的取值范围为（0，）．
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