人教A版理科数学椭 圆名师精编单元测试Word格式.docx
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＋x2＝1上，所以
两式相减得
＋x12－x22＝0，得
＋（x1－x2）（x1＋x2）＝0，又弦AB被点P（
）平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得
＋x1－x2＝0，得
＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－
＝－9（x－
），即9x＋y－5＝0.
3．椭圆
＝1上的点到直线x＋2y－
＝0的最大距离是（ ）
A．3B.
C．2
D.
解析 设椭圆
＝1上的点P（4cosθ，2sinθ），则点P到直线x＋2y－
＝0的距离为d＝
，∴dmax＝
.
4．（2018·
广东梅州阶段测评）已知椭圆E：
＝1的一个顶点C（0，－2），直线l与椭圆E交于A，B两点，若E的左焦点F1为△ABC的重心，则直线l的方程为（ ）
A．6x－5y－14＝0B．6x－5y＋14＝0
C．6x＋5y＋14＝0D．6x＋5y－14＝0
解析 由题意知F1（－1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
∴
①
设M为AB的中点，则M（－
，1）．
由
作差得
＝0，
将①代入上式得
即k＝
，由点斜式得，直线方程为y－1＝
（x＋
），即6x－5y＋14＝0.
5．（2018·
广西南宁、梧州摸底联考）已知椭圆
0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为（ ）
B.
答案 A
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），将x＝－c代入椭圆方程得y＝±
.设A（－c，
），C（x，y），由S△ABC＝3S△BCF2，可得
＝2
，即有（2c，－
）＝2（x－c，y），即2c＝2x－2c，－
＝2y，可得x＝2c，y＝－
，代入椭圆方程可得
＝1.由e＝
，b2＝a2－c2，得4e2＋
－
e2＝1，解得e＝
，故选A.
6．已知椭圆C：
0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>
0）的直线与C相交于A，B两点．若向量
＝3
，则k＝（ ）
A．1B.
D．2
解析 设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为
，故y1＝－3y2.因为e＝
，设a＝2t，c＝
t，b＝t，故x2＋4y2－4t2＝0，直线AB的方程为x＝sy＋
t.代入消去x，所以（s2＋4）y2＋2
sty－t2＝0，所以y1＋y2＝－
，y1y2＝－
，－2y2＝－
，－3y22＝－
，解得s2＝
，又k＝
，则k＝
.故选B.
7．已知直线l：
y＝k（x＋2
）与椭圆x2＋9y2＝9交于A，B两点，若|AB|＝2，则k＝________．
答案 ±
解析 椭圆x2＋9y2＝9即椭圆
＋y2＝1，所以椭圆的焦点坐标为（±
2
，0）．因为直线y＝k（x＋2
），所以直线过椭圆的左焦点F（－2
，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝k（x＋2
）代入椭圆x2＋9y2＝9，可得（1＋9k2）x2＋36
k2x＋72k2－9＝0，所以x1＋x2＝－
，x1x2＝
，所以|AB|＝
·
，因为|AB|＝2，所以
＝2，所以k＝±
8．直线m与椭圆
＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．
答案 －
解析 由点差法可求出k1＝－
∴k1·
＝－
，即k1k2＝－
9．（2018·
河北唐山期末）设F1，F2为椭圆C：
0）的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4
的等边三角形，则椭圆C的方程为________．
答案
解析 由△F2AB是面积为4
的等边三角形知AB垂直x轴，得
×
2c，
2c×
＝4
，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所以的椭圆方程为
10．椭圆Γ：
0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝
（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
－1
解析 由直线y＝
（x＋c）知其倾斜角为60°
由题意知∠MF1F2＝60°
，则∠MF2F1＝30°
，∠F1MF2＝90°
故|MF1|＝c，|MF2|＝
c.
又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴（
＋1）c＝2a.
即e＝
－1.
11．已知椭圆
＝1（0<
m<
9）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|的最大值为10，则m的值为________．
答案 3
解析 已知在椭圆
9）中，a2＝9，b2＝m.|AF2|＋|BF2|＝4×
3－|AB|≤10，∴|AB|≥2，|AB|min＝
＝2，解得m＝3.
12．（2018·
衡水中学调研卷）过椭圆
＋y2＝1的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G的横坐标的取值范围为________．
答案 （－
，0）
解析 设直线AB的方程为y＝k（x＋1）（k≠0），代入
＋y2＝1，整理得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝（4k2）2－4（1＋2k2）×
（2k2－2）＝k2＋1>
0.设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为N（x0，y0），则x1＋x2＝－
，y1＋y2＝
，∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－
（x－x0）．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－
.∵k≠0，∴－
<
xG<
0，∴点G的横坐标的取值范围为（－
，0）．
13．（2018·
江苏泰州中学月考）已知直线y＝－x＋1与椭圆
0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[
]，则a的最大值为________．
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（a2＋b2）x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
Δ＝4a4－4（a2＋b2）（a2－a2b2）>
0，可得a2＋b2>
1且
∵OA⊥OB，∴
＝x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－（x1＋x2）＋1＝0，
＋1＝0，整理得a2＋b2＝2a2b2，a2＋a2－c2＝2a2（a2－c2），
2a2－a2e2＝2a2（a2－a2e2），2a2＝
＝1＋
∵e∈[
]，∴2a2∈[
，5]，即amax＝
14．已知椭圆C：
＝1，过椭圆C上一点P（1，
）作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，求直线AB的斜率．
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），同时设PA的方程为y－
＝k（x－1），代入椭圆方程化简得（k2＋2）x2－2k（k－
）x＋k2－2
k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解．因此x1＝
，y1＝
，由－k代替x1，y1中的k，得x2＝
，y2＝
，所以
15．设F1，F2分别是椭圆E：
x2＋
＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
（1）求|AB|；
（2）若直线l的斜率为1，求实数b的值．
答案
（1）
（2）
解析
（1）由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝
（2）l的方程为y＝x＋c，其中c＝
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组
化简，得（1＋b2）x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝
|x2－x1|.
即
＝（x1＋x2）2－4x1x2＝
，解得b＝
16．（2018·
广东六校联盟二联）已知椭圆
0）的左、右焦点分别为F1（－3，0），F2（3，0），直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
（1）若△AF1F2的周长为4
＋6，求椭圆的标准方程；
（2）若|k|>
，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．
＝1
（2）
<
e<
解析
（1）由题意得
解得a＝2
结合a2＝b2＋c2，解得a2＝12，b2＝3.
所以椭圆的标准方程为
（2）由
消去y，得（b2＋a2k2）x2－a2b2＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝0，x1x2＝
，易知，AF2⊥BF2.
因为
＝（x1－3，y1），
＝（x2－3，y2），
所以
＝（x1－3）（x2－3）＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋9＝0，
＋9＝0，
将其整理为k2＝
＝－1－
因为|k|>
，所以12<
a2<
18，即2
a<
3
所以离心率
17．（2018·
杭州市二中模拟）已知椭圆E的两个焦点分别为F1（－1，0）和F2（1，0），离心率为
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l：
y＝x＋m（m≠0）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．
＋y2＝1
（2）
解析
（1）根据题意得
解得
所以椭圆E的方程为
＋y2＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
化简得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝（4m）2－12（2m2－2）>
0，
即－
且m≠0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－
x1x2＝
设AB的中点为C，xC＝
，yC＝xC＋m＝
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－
＝－（x＋
）．
∴点T的坐标为（－
T到直线AB的距离d＝
|m|，
由弦长公式得|AB|＝
∴S△TAB＝
|m|×
≤
当m2＝
，即m
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