平行四边形经典证明题例题讲解Word格式.docx

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3.（在四边形ABCD中，∠D=60°

，∠B比∠A大20°

，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．

【关键词】多边形的内角和

【答案】设

（度），则

根据四边形内角和定理得，

．

解得，

4．（如图，

是四边形

的对角线

求证：

（1）

（2）四边形

是平行四边形．

【关键词】平行四边形的性质,判定

．又

（2）由

（1）知

四边形

是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形

中，点

、

分别是

边上的点，且

.

（1）求

∶

的值；

（2）延长

交正方形外角平分线

（如图13-2），试判断

的大小关系，并说明理由；

（3）在图13-2的

边上是否存在一点

，使得四边形

是平行四边形？

若存在，请给予证明；

若不存在，请说明理由．

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解：

四边形ABCD为正方形

解法

：

在

边上存在一点

，使四边形

证明：

边上取一点

，使

，连接

为平行四边形

6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。

四边形DECF是平行四边形。

【答案】∵D.E、F分别为AB.BC.CA的中点，

∴DF∥BC，DE∥AC，

∴四边形DECF是平行四边形.

7．（2009年包头）已知二次函数

（

）的图象经过点

，直线

）与

轴交于点

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线

）上有一点

（点

在第四象限），使得

为顶点的三角形与以

为顶点的三角形相似，求

点坐标（用含

的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点

为平行四边形？

若存在，请求出

的值及四边形

的面积；

【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线

解：

（1）根据题意，得

解得

（2）当

时，

得

或

当

时，得

∵点

在第四象限，∴

，∴

（3）假设抛物线上存在一点

为平行四边形，则

，点

的横坐标为

当点

的坐标为

时，点

在抛物线的图象上，

（舍去），

注：

各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．

8．（2009年莆田）已知：

如图在

中，过对角线

的中点

作直线

分别交

的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。

（1）观察图形并找出一对全等三角形：

________

____________，请加以证明；

（2）在

（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

【关键词】四边形、全等三角形、变换

；

∵四边形

∴

（2）绕点

旋转

后得到或以点

为中心作对称变换得到．8分

9．（2009年温州）在所给的9×

9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．

（1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；

（2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．（注：

图甲、图乙在答题纸上）

【关键词】平行四边形的性质，判定

（2）

10．（2009年中山）在

以

为直径作

（1）求圆心

到

的距离（用含

的代数式来表示）；

取何值时，

与

相切．

【关键词】利用平行四边形证明线段相等

【答案】

（1）分别过

两点作

，垂足分别为点

就是圆心

的距离．

是平行四边形，

圆心到CD的距离PF为

为

的直径，且

相切于

点，

11．（2009年宁德市）（本题满分8分）如图：

点A.D.B.E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

解法1：

图中∠CBA＝∠E

∵AD＝BE

∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE

∵AC∥DF∴∠A＝∠FDE

又∵AC＝DF

∴△ABC≌△DEF

∴∠CBA＝∠E

解法2：

图中∠FCB＝∠E

∵AC＝DF，AC∥DF

∴四边形ADFC是平行四边形

∴CF∥AD，CF＝AD

∵AD＝BE∴CF＝BE，CF∥BE

∴四边形BEFC是平行四边形

∴∠FCB＝∠E

12．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，

由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；

同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交

于Q，连接PE．若设运动时间为

（s）（

）．解答下列问题：

（1）当

为何值时，

？

（2）设

的面积为

（cm2），求

之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻

若存在，求出此时

若不存在，说明理由．

（4）连接

，在上述运动过程中，五边形

的面积是否发生变化？

说明理由．

【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算

（1）∵

而

∴当

（2）∵

平行且等于

过B作

，交

于

，过

作

（3）

若

则有

（4）在

和

∴在运动过程中，五边形

的面积不变．

13．（2009年达州）如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC.BC于点G、F.

（1）求证：

DF垂直平分AC；

（2）求证：

FC＝CE；

（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.

【关键词】圆,平行四边形,勾股定理

（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O

∴DF⊥DE

又∵AC∥DE

∴DF⊥AC

∴DF垂直平分AC

（2）由

（1）知：

AG=GC

又∵AD∥BC

∴∠DAG=∠FCG

又∵∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）

∴AD=FC

∵AD∥BC且AC∥DE

∴四边形ACED是平行四边形

∴AD=CE

∴FC=CE5分

（3）连结AO；

∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm

在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm

设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3

在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2

有：

r2=（r-3）2+42解得r=256

∴⊙O的半径为256cm.

经典例题（附带答案2）

　例1 

一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？

　　分析 

根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．

　　解 

设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得

，解得

　　∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°

，135°

，45°

　　例2 

已知：

如图，

的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，

的周长比

的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．

由平行四边形对边相等，可知

平行四边形周长的一半＝30cm，又由

的周长多8cm，可知

cm，由此两式，可求得各边的长．

∵四边形

为平行四边形，∴

　　∴

　　答：

这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．

　　说明：

学习本题可以得出两个结论：

（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．

（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．

　　例3已知：

如图，在

交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．

观察图形，

，从而可说明

　　证明 

在

交于O，∴

　　例4 

如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且

，垂足为F。

都是直角三角形，且锐角

，斜边

，因此这两个直角三角形全等。

在这个图形中，若连结AE，则

全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。

∵四边形ABCD是矩形，∴

　　又

。

　　例5O是

ABCD对角线的交点，

的周长为59，

，则

________，若

的周长之差为15，则

______，

ABCD的周长=______. 

　　解答：

ABCD中，

. 

　　∴

　　在