最新谢寿才版概率统计第四章习题及其解答Word文档格式.docx
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且已知
求
【解】因
……①,
又
……②,
……③
由①②③联立解得
3.设随机变量
的概率密度为
【解】
故
4.设随机变量
求
(1)
(2)
(3)
(1)由
得
(2)
(3)
故
5.过单位圆上一点
作任意弦
与直径
的夹角
服从区间
上的均匀分布,求弦
的长度的数学期望.
解:
弦
的长为随机变量
,由任意
的密度函数为
6.设
服从柯西分布,其密度函数为
问
是否存在?
因为
所以
不存在。
7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路,每个路口出现什么信号灯是相互独立的,且红绿两种信号显示时间相同,以
表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数,求
8.设随机变量
上的均匀分布,求
的数学期望与方差.
。
9.一工厂生产某种设备的寿命
(以年计)服从指数分布,其概率密度为
为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值:
100元和-元
故
(元).
10.设随机变量
相互独立,且
求下列随机变量的数学期望.
(1)
(1)
11.设随机变量
试确定常数
,并求
故k=2
12.设
是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
【解】先求X与Y的均值
由X与Y的独立性,得
13.袋中装有12个灯泡,其中9个好灯泡,3个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时,从袋中一个一个地
取出(取出后不放回),设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量
,求
和
【解】其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知
于是,得到X的概率分布表如下:
X
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得
14.设随机变量
对
独立地重复观察4次,用
表示观察值大于
的次数,求
的数学期望.
【解】令
则
.因为
及
从而
15.设随机变量
的数学期望
存在,对于任意
,求函数
的最小值,并说明其意义.
当
时,有唯一驻点
,所以在
时,取极小值,也是最小值:
这说明随机变量对其数学期望的偏离程度,比它对其他任意数偏离程度都小,最小值为其方差。
16.设随机变量
上的均匀分布,随机变量
=
试求
.
而X+Y及(X+Y)2的概率分布相应为
17.对随机变量
,已知
18.设二维随机变量
在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求
及相关系数.
【解】如图,SD=
,故(X,Y)的概率密度为
同理
而
从而
19.设随机变量
(1)求
(2)求
并问
与
是否不相关?
(3)问
是否相互独立,为什么?
所以X与|X|互不相关.
(3)为判断|X|与X的独立性,需依定义构造适当事件后再作出判断,为此,对定义域-∞x<
+∞中的子区间(0,+∞)上给出任意点x0,则有
故由
得出X与|X|不相互独立.
20.已知随机变量
分别服从正态分布
,且
的相关系数
并判断
是否相互独立.
而
所以
(2)因
由
,得X与Z不相关.又因
,所以X与Z也相互独立.
21.将一枚硬币重复掷
次,以
分别表示正面向上和反面向上的次数.试求
【解】由条件知X+Y=n,则有D(X+Y)=D(n)=0.
再由X~B(n,p),Y~B(n,q),且p=q=
从而有
故
=-1.