1、且已知,求【解】因,又,由联立解得3.设随机变量的概率密度为 【解】故 4.设随机变量求(1)(2)(3)(1) 由得(2) (3) 故 5. 过单位圆上一点作任意弦与直径的夹角服从区间上的均匀分布,求弦的长度的数学期望.解:弦的长为随机变量,由任意的密度函数为6设服从柯西分布,其密度函数为问是否存在?因为所以不存在。7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路,每个路口出现什么信号灯是相互独立的,且红绿两种信号显示时间相同,以表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数,求8设随机变量上的均匀分布,求的数学期望与方差.。9.一工厂生产某种设备的寿命(以年计)服从指数分布,其概率密度为为确保消费
2、者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值:100元和 -元故 (元).10.设随机变量相互独立,且求下列随机变量的数学期望.(1)(1) 11.设随机变量试确定常数,并求故k=212.设是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为【解】先求X与Y的均值由X与Y的独立性,得13.袋中装有12个灯泡,其中9个好灯泡,3个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量,求和【解】其分布律,
3、下面求取这些可能值的概率,易知于是,得到X的概率分布表如下:X3P0.7500.2040.0410.005由此可得14.设随机变量对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.【解】令 则.因为及从而15.设随机变量的数学期望存在,对于任意,求函数的最小值,并说明其意义. 当时,有唯一驻点,所以在时,取极小值,也是最小值:这说明随机变量对其数学期望的偏离程度,比它对其他任意数偏离程度都小,最小值为其方差。16.设随机变量上的均匀分布,随机变量=试求. ,而X+Y及(X+Y)2的概率分布相应为, 17.对随机变量,已知18.设二维随机变量在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点
4、的三角形区域上服从均匀分布,求及相关系数.【解】如图,SD=,故(X,Y)的概率密度为同理而 从而 19.设随机变量(1) 求(2) 求,并问与是否不相关?(3) 问是否相互独立,为什么?所以X与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X的独立性,需依定义构造适当事件后再作出判断,为此,对定义域 -x+中的子区间(0,+)上给出任意点x0,则有故由得出X与|X|不相互独立.20.已知随机变量分别服从正态分布,且的相关系数,并判断是否相互独立.而所以 (2) 因由,得X与Z不相关.又因,所以X与Z也相互独立.21.将一枚硬币重复掷次,以分别表示正面向上和反面向上的次数.试求【解】由条件知X+Y=n,则有D(X+Y)=D(n)=0.再由XB(n,p),YB(n,q),且p=q=从而有 故=-1.