高中数学函数定义域值域求法总结文档格式.docx
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无意义，
而
时，分式
有意义，∴这个函数的定义域是
.
②∵3x+2<
0，即x<
-
时，根式
，即
才有意义，
∴这个函数的定义域是{
|
}.
③∵当
且
和分式
同时有意义，
}
另解：
要使函数有意义，必须：
例2求下列函数的定义域：
②
④
⑤
①要使函数有意义，必须：
即：
∴函数
的定义域为：
[
]
②要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
{x|
③要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
④要使函数有意义，必须：
⑤要使函数有意义，必须：
即x<
或
x>
∴定义域为：
2
定义域的逆向问题
例3
若函数
的定义域是R，求实数a的取值范围
（定义域的逆向问题）
∵定义域是R,∴
∴
练习：
定义域是一切实数，则m的取值范围；
3复合函数定义域的求法
例4若函数
的定义域为[1，1]，求函数
的定义域
例5已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（2x－1）的定义域。
分析：
法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；
或者从位置上思考f（2x－1）中2x－1与f（x）中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：
f（x）中的x与f（2x－1）中的x不是同一个x，即它们意义不同。
）
∵f（x）的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f（2x－1）的定义域为[0，1]。
例6已知已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（x2）的定义域。
答案：
－1≤x2≤1
x2≤1
－1≤x≤1
设
的定义域是[3，
]，求函数
得：
∵
≥0
∴
∴函数
的定域义为：
例7已知f（2x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f（x）的定义域。
1已知f（3x－1）的定义域为[－1，2），求f（2x+1）的定义域。
（提示：
定义域是自变量x的取值范围）
2已知f（x2）的定义域为[－1，1]，求f（x）的定义域
3若
的定义域是
，则函数
的定义域是
（
）
Ａ．
Ｂ
Ｃ．
Ｄ．
4已知函数
的定义域为Ａ，函数
的定义域为Ｂ，则（
Ｂ．B
求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b（a
0）的定义域为R，值域为R；
反比例函数
的定义域为{x|x
0}，值域为{y|y
0}；
二次函数
的定义域为R，
当a>
0时，值域为{
}；
当a<
例1
求下列函数的值域
①y=3x+2（-1
x
1）
（记住图像）
①∵-1
1，∴-3
3x
3，
∴-1
3x+2
5，即-1
y
5，∴值域是[-1，5]
②略
③
当x>
0，∴
=
，
当x<
0时，
=－
∴值域是
[2，+
）.（此法也称为配方法）
函数
的图像为：
二次函数在区间上的值域（最值）：
例2
求下列函数的最大值、最小值与值域：
②；
，∴顶点为（2,-3），顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3,无最大值；
函数的值域是{y|y
-3}.
②∵顶点横坐标2
[3,4]，
当x=3时，y=-2；
x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，
=-2，
=1；
值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2
[0,1]，当x=0时，y=1；
x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，
④∵顶点横坐标2
[0,5]，当x=0时，y=1；
x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
=-3，
=6；
值域为[-3，6].
注：
对于二次函数
⑴若定义域为R时，
①当a>
0时，则当
时，其最小值
②当a<
时，其最大值
;
⑵若定义域为x
[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若
[a,b],则
是函数的最小值（a>
0）时或最大值（a<
0）时，
再比较
的大小决定函数的最大（小）值.
②若
[a,b],则[a,b]是在
的单调区间内，只需比较
的大小即可决定函数的最大（小）值.
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
1、求函数y=3+
的值域
由算术平方根的性质，知
≥0，故3+
≥3。
∴函数的值域为
.
2、求函数
对称轴
1单调性法
求函数y=4x－
（x≤1/3）的值域。
设f（x）=4x,g（x）=－
（x≤1/3）,易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）=4x-
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：
利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
求函数y=3+
的值域。
（答案：
｛y|y≥3｝）
2换元法
例4
求函数
的值域
，则
点评：
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
求函数y=
｛y|y≤－3/4｝
求
的值域；
例5
（三角换元法）求函数
（1）若题目中含有
，则可设
（2）若题目中含有
则可设
，其中
（3）若题目中含有
（4）若题目中含有
（5）若题目中含有
其中
3平方法
（选）求函数
函数定义域为：
4分离常数法
例6
由
，可得值域
已知分式函数
，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为
，用复合函数法来求值域。
练习
求函数
求函数y=
（y∈（-1，1））
例7
求
的值域
解法一：
（图象法）可化为
如图，
观察得值域
解法二：
（不等式法）
同样可得值域
的值域
例8
（换元法）设
原函数可化为
例9求函数
（换元法）令
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
例10
（图象法）如图，值域为
，
则
例13
函数
（逆求法）
2
则
解法三：
（判别式法）原函数可化为
1）
时不成立
2）
时，
综合1）、2）值域
解法四：
（三角换元法）
原函数的值域为
例14
5
（判别式法）化为
1）
时，不成立
2）
得
（复合函数法）令
所以，值域
例15
（判别式法）原式可化为
（不等式法）1）当
综合1）2）知，原函数值域为
例16（选）求函数
（判别式法）原式可化为
（不等式法）原函数可化为
当且仅当
时取等号，故值域为
例17（选）求函数
，则原函数可化为
。
，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；
如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
（选）
的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大
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