高中数学函数定义域值域求法总结.docx
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高中数学函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结
一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
（6）x0中x0
二、值域是函数y=f（x）中y的取值范围。
常用的求值域的方法：
（1）直接法
（2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法（4）配方法
（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法（8）判别式法
（9）复合函数法（10）不等式法
（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1求下列函数的定义域：
①
f（x）
1
3x2
；③f（x）
x1
1
；②f（x）
x
x2
2
解：
①∵x-2=0，即x=2时，分式
1
无意义，
x
2
而x
2时，分式
1
有意义，∴这个函数的定义域是
x|x2
.
x
2
②∵3x+2<0，即x<-
2时，根式
3x
2
无意义，
3
2
而3x
2
0，即x
3x
2才有意义，
时，根式
3
∴这个函数的定义域是
{x|x
2
}.
3
1
③∵当x10且2
x0，即x
1
且x
2时，根式x
1和分式
1
同时有意义，
{x|x1
且x
2
2
x
∴这个函数的定义域是
}
另解：
要使函数有意义，必须：
x
1
0
x
1
2
x
0
x
2
例2求下列函数的定义域：
①f（x）
4x2
1
③f（x）
1
1
1
1
1
x
x2
3x
4
②f（x）
1
2
x
（x
1）0
④f（x）
x
x
1
⑤yx23
33x7
解：
①要使函数有意义，必须：
4
x2
1
即：
3x
3
∴函数f（x）
4
x2
1的定义域为：
[
3,
3]
②要使函数有意义，必须：
x2
3x40
x4或x
1
x
1
2
0
x
3且x1
x3或3
x
1或x4
∴定义域为：
{x|
x
3或3
x
1或x
4}
x
0
1
x
0
③要使函数有意义，必须：
0
x
1
1
x
x
1
1
1
0
2
1
1
x
∴函数的定义域为：
{x|x
R且x
0,
1,
1}
2
④要使函数有意义，必须：
x1
0
x
1
x
x
0
x
0
∴定义域为：
x|x
1或1
x
0
2
x2
3
0
xR
⑤要使函数有意义，必须：
7
0
7
3x
x
3
即x<
7
7
7
或x>
∴定义域为：
{x|x
}
3
3
3
2定义域的逆向问题
例3
若函数y
ax2
ax
1
的定义域是R，求实数a的取值范围
（定义域的逆向问题）
a
ax2
ax
1
0恒成立，
解：
∵定义域是R,∴
a
等价于
a
0
1
0
a2
a
2
4a
0
∴
a
练习：
ylog2x2mx3定义域是一切实数，则m的取值范围；
3复合函数定义域的求法
例4若函数y
f（x）的定义域为[
1，1]，求函数y
f（x
1）
f（x
1）的定义域
4
4
解：
要使函数有意义，必须：
1
x
1
1
5
x
3
3
3
4
4
4
1
3
5
x
4
1
x
1
x
4
4
4
4
y
f（x
1）f（x
1）
3
x
3
x|
4
∴函数
4
4
的定义域为：
4
例5已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（2x－1）的定义域。
分析：
法则
f要求自变量在[－1，1]
内取值，则法则作用在
2x－1上必也要求2x－1
在[－1，
1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；
或者从位置上思考
f（2x－1）
中2x－1与f（x）中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：
f（x）中的x与f（2x－1）中的x不是同一个x，即它们意义不同。
）
解：
∵f（x）的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f（2x－1）的定义域为[0，1]。
3
例6已知已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（x2）的定义域。
答案：
－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1
练习：
设
f（x）的定义域是[3，
2]，求函数
f（
x
2）的定义域
解：
要使函数有意义，必须：
3
x
2
2
得：
1x22
∵
x≥0
∴0
x2
2
0x642
∴函数f（x
2）的定域义为：
x|0
x
6
42
例7已知f（2x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f（x）的定义域。
练习：
1
已知f（3x－1）的定义域为[－1，2），求f（2x+1）的定义域。
5,2）
2
（提示：
定义域是自变量
x的取值范围）
2
已知f（x2）的定义域为[－1，1]，求f（x）的定义域
3
若yfx
的定义域是0,2
，则函数f
x
1
f
2x
1的定义域是
（
）
Ａ．
1,1
Ｂ
1,1
Ｃ．
1,1
Ｄ．0,1
2
2
2
2
4
已知函数f
x
1
x的定义域为Ａ，函数
y
f
f
x
的定义域为Ｂ，则（
）
1
x
AＣ．ABB
AB
Ａ．A
BBＢ．B
Ｄ．
求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b（a
0）的定义域为R，值域为R；
y
k（k
0）
0}，值域为{y|y
0}；
反比例函数
x
的定义域为{x|x
二次函数f（x）
ax2
bxc（a0）的定义域为
R，
4
y|y
（4acb2）
y|y
（4ac
b2）
4a
}；当a<0时，值域为{
4a
}.
当a>0时，值域为{
例1
求下列函数的值域
①y=3x+2（-1x1）
②f（x）
2（1x
3）
3x
1
③yx（记住图像）
x
解：
①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②略
4
3
③当x>0，∴y
1
=（x
1
2
2
2，
fx
=x+
1
22
y=x
x
）
x
1
x
x
-6
-4-2
o-1
246
-1
1
当x<0时，y
（
1
）=－（
x
1
）
2
2
2
-2
-2
x
-3
x
x
-4
∴值域是（
2]
[2，+
）.（此法也称为配方法）
1
函数yx
的图像为：
x
二次函数在区间上的值域（最值）：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
①y
x2
4x
1；
②；y
x2
4x1,x
[3,4]
③y
x2
4x
1,x
[0,1]
；
④yx2
4x
1,x
[0,5]；
解：
∵y
x2
4x
1
（x
2）2
3，∴顶点为（2,-3）
，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域
R，
∴x=2时，ymin=-3,
无最大值；函数的值域是
{y|y
-3}.
②∵顶点横坐标
2
[3,4]，
当x=3时，y=-2
；x=4时，y=1；
∴在[3,4]
上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2
，1].
③∵顶点横坐标
2
[0,1]
，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
y
3
2
1
-2-1O123456x-1
-2
-3
5
∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标
2
[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5
时，y=6,
∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6].
注：
对于二次函数
f（x）
ax2
bxc（a0）,
⑴若定义域为
R时，
①当a>0时，则当x
b时，其最小值ymin
（4acb2）；
2a
4a
②当a<0时，则当x
b时，其最大值ymax
（4acb2）;
2a
4a
⑵若定义域为
x
[a,b],
则应首先判定其顶点横坐标
x0是否属于区间[a,b].
①若x0
[a,b],
则f（x0）是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
再比较
f（a）,f（b）的大小决定函数的最大（小）值.
②若x0
[a,b],
则[a,b]
是在f（x）的单调区间内，只需比较f（a）,f（b）的大小即可决定函数的最大
（小）值.
注：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：
1、求函数y=3+
2
3x的值域
解：
由算术平方根的性质，知
2
3x
≥0，故3+
23x≥3。
∴函数的值域为3,
.
2、求函数y
x2
2x
5,x
0,5
的值域
x
时
ymin
4
1
解：
对称轴
x
1
0,5
x
5
时,ymax
20
值域为4,20
1单调性法
例3求函数y=4x－13x（x≤1/3）的值域。
设f（x）=4x,g（x）=
－13x,（x≤1/3）,易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）=4x-1
3x
在定义域为x≤1/3
上也为增函数，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3,
因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3
｝。
6
小结：
利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：
求函数y=3+4x的值域。
（答案：
｛y|y≥3｝）
2换元法
例4
求函数y
x21
x
的值域
解：
设
1
x
t
，则
2
2
1（
0）
t
t
t
y
对称轴t
1
0,
，且开口向下
当t
时，y
max
2
1
值域为
2
点评：
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函
数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：
求函数y=x1x的值域。
（答案：
｛y|y≤－3/4｝
求1sinxcosx的值域；
sinxcoxs
例5
（三角换元法）求函数
y
x
1
x2的值域
解：
1x
1
设
x
cos
0,
y
cos
sin
cos
sin
2sin（
）
1,
2
4
原函数的值域为
1,
2
小结：
（1）若题目中含有
a
1，则可设a
sin
2
（或设acos,0
）
2
（2）若题目中含有
a2
b2
1
则可设a
cos
b
sin
，其中0
2
（3）若题目中含有
1
x2
，则可设x
cos
，其中0
（4）若题目中含有
1
x2
，则可设x
tan
，其中
2
2
（5）若题目中含有
xyr（x0,y
0,r
0），则可设x
2
2
0,
rcos
yrsin其中
2
3平方法
例5（选）求函数yx35x的值域
解：
函数定义域为：
x3,5
7
y
2
（x3）
2
由
3,5,
得
x
2
8x150,1
（5x）2x
8x15x
y2
2,4
原函数值域为
2,2
4分离常数法
例6
x
1
的值域
求函数y
2
x
由y
x
23
3
1，可得值域
yy1
x
1
x
2
2
小结：
已知分式函数
y
ax
b
（c
0），如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）
cx
d
内，值域为
a
；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）
，采用部分分式法
yy
c
a
b
ad
将原函数化为
y
c
（ad
bc），用复合函数法来求值域。
c
cx
d
练习
求函数y
2x
1
的值域
4x
6
求函数y
3x
3x
的值域
1
求函数
y=
2x
1的值域；（y∈（-1，1））
2
2x
1
t
例7求yx3x
1
的值域
4
x
1
y
0
1
4
解法一：
（图象法）可化为
y
2
2x,
1
x
3
如图，
4
x
3
观察得值域
y
4
y4
-101
3
x
-4
解法二：
（不等式法）
x3
x1
（x3）
（x
1）
4
同样可得值域
x3x1（x1）4x1x14x14
t
练习：
yxx1的值域1,
例8求函数y9x3x2（x0,1）的值域
8
解：
（换元法）设3x
t
，则1
t
3
原函数可化为
y
t2
t
2,
对称轴
t
1
1,3
t
1
时,
ymin2
;t3时,ymax8
2
值域为2,8
1
x2
2x
例9求函数y
的值域
3
1
t
解：
（换元法）令t
x2
2x
（x
1）2
1，则y
（t
1）
3
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
1,
y
3
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