学年度期中考试高二年三校联考理科数学试题附答案.docx
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学年度期中考试高二年三校联考理科数学试题附答案
2014-2015学年度期中考试高二年三校联考（理科）数学试题
一．选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.为虚数单位，则（1－）的虚部为（）
A、2B、-2C、2D、
2．已知函数的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是
ABCD
A.ABBC.C D.D
3.函数的递增区间是（）.
．．．．
4．设函数，满足，则的展开式中的系数为（）
A．－360 B．360C．－60 D．60
5.4名同学从跑步、跳高、跳远三个项目中任意选报比赛项目，每人报且只能报一项，共有（）种报名的方法。
A．81B．64C.4D.24
6.证明：
，当时，中间式子等于
A.B.C.D.
7.已知点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（）
．[0，]．[0，]∪．[，π]．[0，）∪[，π）
8.若展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是（）
A．210B．120C.461D.416
9.设、、，那么关于、、这三个数正确的结论是
A.都不大于2B.都不小于2
C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2
10．，则二项式展开式中的常数项为（）
A.15B.20C.25D.70
11.已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）
12．设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是
A．1B．C．D．
二．填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在相应位置.
13．计算是积分__________.
14.在复平面内，复数Z满足，则=___________.
15．三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为．
16.在平面几何中有如下结论：
正△ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则。
推广到空间可以得到类似结论：
已知正四面体ABCD的内切球体积为，外接球体积为，则___________.
三．解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的图象在点处的切线方程．
18.（本小题满分12分）
设令.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
19．（本小题满分12分）
福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。
现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？
（要求：
先列式，再计算，最后用数字作答）
（1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起。
20．（本小题满分12分）现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/时）的函数；
（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
21．（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos（-48°）；
⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos（-55°）.
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据
（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
22.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：
在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（理科）数学答案
一、选择题：
（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
D
A
D
D
A
D
A
C
B
二、填空题：
（每小题4分，共16分）
13._________14.___________
15.__192_________16.1/8
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的图象在点处的切线方程．
解析：
（1）由x∈（0，π）及f′（x）＝cosx－>0，解得x∈（0，），
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，）．……………….6分
（2）f（）＝sin－×＝－，切线的斜率k＝f′（）＝cos－＝0，
∴所求切线方程为y＝－…………………………..12分
18.（本小题满分12分）
设令.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
解：
（1）∵∴，
………………………………….4分
（2）猜想：
……………………………6分
下面用数学归纳法证明：
当时，，猜想成立；
假设当时猜想成立，即：
则
∴当时猜想也成立.
由①，②可知，对任意都有成立…………….12分
19．（本小题满分12分）
福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩。
现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？
（要求：
先列式，再计算，最后用数字作答）
（1）三名男生和三名女生各自排在一起；
（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；
（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起。
解：
（1）72;
（2）504（3）144各4分
20．（本小题满分12分）现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/时）的函数；
（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解：
（1）依题意得y＝（960＋0.6x2）＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为（0,35]，
即y＝＋300x（0＜x≤35）．………….5分
（2）由
（1）知，y′＝－＋300，
令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40（舍去）．……………7分
因为函数的定义域为（0,35]，
所以函数在定义域内没有极值点．
又当0＜x≤35时，y′＜0，
所以y＝＋300x在（0,35]上单调递减，………………10分
故当x＝35时，
函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶…………….12分
21．（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos（-48°）；
⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos（-55°）.
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据
（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：
方法一：
（1）选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°＝1－＝……………4分
（2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝.
证明如下：
sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）
＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα）
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝………………………12分
方法二：
（1）同方法一．
（2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝.
证明如下：
sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）
＝＋－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα）
＝－cos2α＋＋（cos60°cos2α＋sin60°sin2α）－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－（1－cos2α）
＝1－cos2α－＋cos2α＝…………………12分
22.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：
在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
解：
（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数是常数函数，无单调区间.………………………5分
（Ⅱ）
由,
∴，.………………………7分
故，
∴,
∵函数在区间上总存在极值，
∴函数在区间上总存在零点，………………………9分
又∵函数是开口向上的二次函数，且
∴………………………11分
由，令，则，
所以在上单调递减，所以；
由，解得；
综上得：
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.………………………14分
2014-2015学年度漳浦县期中考试高二年三校联考（理科）数学答题卡
一、选择题：
（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：
（每小题4分，共16分）
13._________14.___________
15.___________16.
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的图象在点处的切线方程．
18.设令.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
19.福建师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名
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