高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修22Word文档格式.docx
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C.(1,4)D.(2,+∞)
[答案] D
[解析] f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,2)
(2,+∞)
f′(x)
-
+
f(x)
单调递减
单调递增
由此得,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2),单调递增区间为(2,+∞),故选D.
4.函数f(x)=(x+3)e-x的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2)B.(0,3)
[解析] ∵f(x)=(x+3)e-x,
∴f′(x)=e-x-(x+3)e-x=e-x(-x-2),
由f′(x)>
0得x<
-2,∴选A.
5.(2014·
新课标Ⅱ文,11)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)D.[1,+∞)
[解析] 由条件知f′(x)=k-
≥0在(1,+∞)上恒成立,∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键.
二、填空题
6.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为________.
[答案] (-1,11)
[解析] f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),令(x-11)(x+1)<
0,解得-1<
x<
11.所以单调减区间为(-1,11).
7.函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调递减区间为(0,3),则m=____________.
[答案]
[解析] 令f′(x)=3x2-2mx=0,解得x=0或x=
m,所以
m=3,m=
8.(2014·
扬州检测)若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是________.
[答案] [
,+∞)
[解析] 因为f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能递增,所以Δ=4-12m≤0,所以m≥
三、解答题
9.求函数y=2x3-3x的单调区间.
[解析] 由题意得y′=6x2-3.令y′=6x2-3>
0,解得x<
或x>
当x∈(-∞,-
)时,函数为增函数;
当x∈(
,+∞)时,函数也为增函数.
令y′=6x2-3<
0,解得-
<
,当x∈(-
,
)时,函数为减函数.
故函数的递增区间为(-∞,-
)和(
,+∞),递减区间为(-
).
10.
若函数f(x)=
x3-
ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求a的范围.
[解析] 解法一:
(区间法)
f′(x)=x2-ax+a-1,令f′(x)=0,所以x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,不合题意.
当a-1>
1,即a>
2时,f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)上单调递增,在(1,a-1)上单调递减,由题意知:
(1,4)⊆(1,a-1)且(6,+∞)⊆(a-1,+∞),
所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.
解法二:
(数形结合)
如图所示,f′(x)=(x-1)[x-(a-1)].若在(1,4)内f′(x)≤0,(6,+∞)内f′(x)≥0,且f′(x)=0有一根为1,则另一根在[4,6]上.
所以
即
所以5≤a≤7.
解法三:
(转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立.即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1,因为2<
x+1<
5,所以当a≥5时,f′(x)≤0在(1,4)上恒成立,
又因为f(x)在(6,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,
所以a≤x+1,因为x+1>
7,所以a≤7时,f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.由题意知5≤a≤7.
[点评] 本题是含参数单调性问题,是高考的重点和热点,体现了数学上的数形结合与转化思想.
1.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数( )
)B.(π,2π)
C.(
)D.(2π,3π)
[答案] B
[解析] y′=-xsinx.当x∈(π,2π)时,y′>
0,则函数y=xcosx-sinx在区间(π,2π)内是增函数.
2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )
[解析] 函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,则导函数y=f′(x)在区间(-∞,0)上的函数值为正,排除A、C;
原函数y=f(x)在区间(0,+∞)上先增再减,最后再增,其导函数y=f′(x)在区间(0,+∞)上的函数值先正、再负、再正,排除B.故选D.
3.(2014·
福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)=
是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<
f(x)对于x∈R恒成立,则( )
A.f
(2)>
e2f(0),f(2012)>
e2012f(0)
B.f
(2)<
C.f
(2)<
e2f(0),f(2012)<
D.f
(2)>
[答案] C
[解析] ∵函数F(x)=
的导数
F′(x)=
=
0,
∴函数F(x)=
是定义在R上的减函数,
∴F
(2)<
F(0),即
,故有f
(2)<
e2f(0).
同理可得f(2012)<
e2012f(0).故选C.
4.(2014·
辽宁理,11)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,-3]
B.[-6,-
]
C.[-6,-2]
D.[-4,-3]
[解析] 当x>
0时,a≥
恒成立.
令
=t,x∈(0,1],∴t≥1.
∴a≥t-4t2-3t3恒成立.
令g(t)=t-4t2-3t3,g′(t)=1-8t-9t2
对称轴t=-
=-
∴函数g′(t)在[1,+∞)上减函数
而且g′
(1)=-16<
∴g′(t)<
0在[1,+∞)上成立.
∴g(t)在[1,+∞)上是减函数,
∴g(t)max=g
(1)=-6.
当x<
0时,a≤
恒成立
∵x∈[-2,0),∴t≤-
令g′(t)=0,∴t=-1,
∴g(t)在(-∞,-1]上为减函数,在(-1,-
]上为增函数,
∴g(t)min=g(-1)=-2,
∴-6≤a≤-2.
郑州网校期中联考)若f(x)=-
x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是________.
[答案] b≤-1
[解析] f(x)在(-1,+∞)上为减函数,∴f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,∵f′(x)=-x+
,∴-x+
≤0,∵b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤-1.
6.下图为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·
f′(x)<
0的解集为__________________.
[答案] (-∞,-
)∪(0,
)
[解析] 由f(x)的图像知,f(x)在(-∞,-
,+∞)上为增函数,在(-
)上为减函数,
∴当x∈(-∞,-
)∪(
,+∞)时,f′(x)>
0;
当x∈(-
)时,f′(x)<
0.
∴x·
0的解集为(-∞,-
7.设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解析]
(1)因f(x)=a(x-5)2+6lnx,
故f′(x)=2a(x-5)+
令x=1,得f
(1)=16a,f′
(1)=6-8a,
所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=
(2)由
(1)知,f(x)=
(x-5)2+6lnx(x>
0),
f′(x)=x-5+
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当0<
2或x>
3时,f′(x)>
0,故f(x)的增区间为(0,2),(3,+∞);
当2<
3时,f′(x)<
故f(x)的减区间为(2,3).
8.已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?
若存在,求出a的取值范围;
若不存在,说明理由;
(3)证明:
f(x)=x3-ax-1的图像不可能总在直线y=a的上方.
[解析]
(1)由已知f′(x)=3x2-a,
∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,
∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,
又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,∴a≤0.
(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.
∵-1<
1,∴3x2<
3,∴只需a≥3.
当a=3时,f′(x)=3(x2-1),
在x∈(-1,1)上,f′(x)<
即f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
∵f(-1)=a-2<
a,
∴f(x)的图像不可能总在直线y=a的上方.