青海省高中数学 222 对数函数及其性质导学案 新人教a版必修1文档格式.docx

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1．若函数

与

互为反函数，则

A.

B.

C.

D.不确定

2．函数

的定义域为

A.（1，+∞） 

C.（-∞，1） 

D.

3．对数函数

的图象如图，则

C.

4．已知函数

，则

的值为 

5．若对数函数

的图象经过点（8，3），则函数的解析式为 

6．对数函数

在定义域内是减函数，则的取值范围是 

知识拓展·

探究案

【合作探究】

1．对数函数的图象与性质

（1）在同一坐标系内画出函数

和

的图象.并说出函数图象从左到右的变化趋势.

（2）在问题

（1）所画图象的基础上，现画出函数

的图象，观察所画出的两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征，回答下列问题：

①函数

的图象从左到右的变化趋势是怎样的？

②函数

的图象间有什么关系？

呢？

③观察所画出的四个函数的图象，请说出对数函数图象的大致走势有几种？

主要取决于什么？

2．对数函数的解析式 

请你根据所学过的知识，思考对数函数解析式中的底数能否等于0或小于0？

3．对数函数的解析式 

根据对数函数的解析式，完成下列填空，并明确其具有的三个结构特征

（1）特征1：

底数

曾大于0且不等于1的 

，不含有自变量

.

（2）特征2：

自变量

的位置在 

，且

的系数是 

（3）特征3：

【教师点拨】

1．对数函数值的变化规律

（1）

（2）

2．对对数函数图象与性质的三点说明

（1）定点：

所有对数函数的图象均过定点（1，0）.

（2）对称性：

底数互为倒数的对数函数图象关于

轴对称.

（3）图象随底数变化规律：

在第一象限内，底数自左向右依次增大.

3．确定对数函数解析式的关键

确定对数函数

解析式的关键是确定底数

的值.

4．对对数函数一般形式的说明

（1）定义中所说的形如

的形式一般来说是不可改变的，否则就不是对数函数.

（2）解析式中底数

取值范围为

，其他范围都是不可以的.

【交流展示】

1．下列函数中是对数函数的是 

.

（2）

.（3）

（4）

.（5）

2．若对数函数

的图象过点

，求

及

3．函数

的图象恒过定点 

4．画出函数

的图象，并指出其值域和单调区间.

5．函数

的定义域是

B.

D.

6．求下列函数的定义域.

7．若

的取值范围是

8．解不等式

9．已知函数

，

，则函数

的最大值为 

10．已知函数

，设

（1）求函数

的定义域，判断它的奇偶性.

（2）若

的解集.

【学习小结】

1．判断一个函数是对数函数的方法

（1）看形式：

判断一个函数是否是对数函数，关键是看解析式是否符合

这一结构形式.

（2）明特征：

对数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是对数函数.

2．对数函数性质的综合应用

（1）常见的命题方式：

对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大（小）值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算.

（2）解此类问题的基本思路：

首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.

3．解对数不等式的两种类型及转化方法

（1）当

时，①

；

②

（2）当

提醒：

解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件.

4．对数式比较大小的三种类型和求解方法

（1）底数相同时，利用单调性比较大小.

（2）底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.

（3）真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.

5．解答

型或

型函数要注意的问题

（1）要注意变量的取值范围.例如

中需有

（2）判断

型函数的奇偶性，首先要注意函数中自变量的范围，再利用奇偶性的定义判断.

【当堂检测】

1．设

2．已知

3．图中的曲线是

的图象，已知

的值为

，则相应曲线

的

依次为

4．若函数

是函数

的反函数，其图象经过点

5．求下列函数的定义域：

. 

（2）

6．比较下列各组数的大小：

（3）

.（4）

7．设函数

若

，求实数

的取值范围.

8．已知

，完成下列问题：

（1）求

的定义域.

（2）判断的

奇偶性并予以证明.

（3）求使

的取值范围.2.2.2对数函数及其性质

详细答案

1．

（1）y＝logax（a＞0，且a≠1）　

（2）x

2．（0，＋∞）　R　（1，0）　增　减

3．y＝logax（a＞0，且a≠1）

1．A

2．B

3．C

4．2

5．f（x）＝log2x

6．（1，2）

1．

（1）①列表

x

1

2

3

4

y＝log2x

－2

－log23

－1

log23

y＝log3x

－log34

－log32

log32

log34

描点画图

②图象的变化趋势：

这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.

（2）图象如图所示：

① 

这两个函数的图象从左到右是下降的.

②结合图形，函数y＝log2x和

的图象关于x轴对称，同样，函数y＝log3x和

的图象也关于x轴对称.

③对数函数图象的大致走势有两种，一种是从左到右图象是下降的，而另一种恰好相反，图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系.

2．因为

，而在指数函数中底数a需满足a＞0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0.

3．

（1）常数　

（2）真数上　1　（3）1

1．

（1）（3）

2．设f（x）＝logax（a＞0且a≠1），因为f（4）＝2，所以loga4＝2，所以a2＝4，又a＞0且a≠1，所以a＝2.

所以f（x）＝log2x，所以f（8）＝log28＝3.

3．（2，0）

4．因为当x＞0时y＝log5x；

当x＜0时y＝log5（－x），

所以函数y＝log5|x|的图象如图所示.

由图象可知，y＝log5|x|的值域为R，递增区间为（0，＋∞），递减区间为（－∞，0）.

5．B

6．

（1）由

得

所以x＞－1且x≠999，所以函数的定义域为{x|x＞－1且x≠999}.

（2）loga（3－4x）≥0.（*）

当a＞1时，（*）可化为loga（3－4x）≥loga1，所以3－4x≥1，

当0＜a＜1时，（*）可化为loga（3－4x）≥loga1，

所以0＜3－4x≤1，

.综上所述，当a＞1时，函数定义域为

当0＜a＜1时，函数定义域为

7．C

8．当a＞1时原不等式

当0＜a＜1时原不等式

综上，当a＞1时原不等式的解集为（0，1），

当0＜a＜1时原不等式的解集为（－1，0）.

9．13

10．

（1）因为f（x）＝loga（x＋1）（a＞0，且a≠1）的定义域为（－1，＋∞），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1）的定义域为（－∞，1）.

所以函数h（x）的定义域为（－1，1）.

因为h（－x）＝loga（1－x）－loga（1＋x）

＝-[loga（1＋x）－loga（1－x）]＝－h（x），

所以h（x）为奇函数.

（2）因为f（3）＝loga4＝2，所以a＝2，

所以

即log2（1＋x）＜log2（1－x），

解得－1＜x＜0，

故h（x）＜0的解集为{x|－1＜x＜0}.

1．B

3．A

4．

5．

（1）（1，2）∪（2，3）　

（2）

6．

（1）因为f（x）＝log3x为增函数，且2.5＜3.7，所以log32.5＜log33.7.

（2）因为f（x）＝log0.2x为减函数，且2＜4.1，所以log0.22＞log0.24.1.

（3）因为log30.24＜log31＝0，log0.20.24＞log0.21＝0，所以log30.24＜log0.20.24.

（4）当a＞1时，因为f（x）＝logax为增函数，且3＜3.1，所以loga3＜loga3.1；

当0＜a＜1时，同理可得，loga3＞loga3.1.

7．

（1）当a＞0时，－a＜0，f（a）＝log2a，

因为f（a）＞f（－a），所以

，所以log2a＞－log2a，

所以log2a＞0，所以log2a＞－log21，所以a＞1.

（2）当a＜0时，－a＞0，

，f（－a）＝log2（－a）.

，所以－log2（－a）＞－log2（－a），所以

综上所述a的取值范围是（－1，0）∪（1，＋∞）.

8．

（1）因为

，需有

即

或

所以函数f（x）的定义域为（－1，1）.

（2）因为

又由

（1）知f（x）的定义域为（－1，1），

所以f（x）为奇函数.

因为a＞1，所以可得

由

（1）中知x∈（－1，1），有1－x＞0.

所以可得1＋x＞1－x，解得x＞0.

即当a＞1时，x∈（0，1），有f（x）＞0.