完整word版带电粒子在磁场中运动最小面积.docx

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完整word版带电粒子在磁场中运动最小面积

带电粒子在磁场中运动--最小面积

1、如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。

2、一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区

域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图

所示（粒子重力忽略不计）。

试求：

（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；

（3）b点的坐标。

3、在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一

象限，如图所示。

现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都

能平行于轴向x正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

4、如图，ABCD是边长为a的正方形。

质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于

BC边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC边上的任意点入射，都只能从A

点射出磁场。

不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

-1-

5、如图所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。

现有一质量为，电量为

的电子从第一象限的某点（，3L）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点（L，

0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别

与轴、

轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点

O，并沿

轴的正方向运动，

不计电子的重力。

求

（1）

电子经过

点的速度；

（2）该匀强磁场的磁感应强度

和磁场的最小面积

。

6、如图所示，在竖直平面内，虚线MO与水平线PQ相交于0，二者夹角θ=30，°在MOP范围内存在竖

直向下的匀强电场，电场强度为E，MOQ上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，

0点处在磁场的边界上.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0≤v≤E/B）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左。

.不计

粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：

（1）速度最

大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时

间.

（2）磁场区域的最小面积.（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小。

7、如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直挡板，挡板上有一小孔P,现有一质量

m41020kg、电量q21014C带电粒子，从小孔以速度

310

水平射向磁感应强度

B0.2T、方向垂直于纸平面向里

的一正三角形区域。

该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面OA上，粒子重力不计。

求：

（1）粒子在磁场中作圆周运动的半径R；

（2）粒子在磁场中运动的时间t；

（3）正三角形磁场区域的最小边长L

-2-

带电粒子在磁场中运动--最小面积

近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题；或带电粒子在空间运动范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

下面以实例进行分析。

一、磁场的边界线为圆形

【例题1-1】如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。

解：

质点在磁场中作半径为R的圆周运动,洛伦兹力提供做向心力：

qvB＝（Mv2）/R，

得R＝（MV）/（qB）

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周,这段圆弧

应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。

过a点作平行于x轴的直线,过b点作

平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。

质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。

在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径

的圆周。

所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：

所求磁场区域如图中实线圆所示。

【例1-2】一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆

形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角

为30°，如图所示（粒子重力忽略不计）。

试求：

（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；

（3）b点的坐标。

解析：

（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，

其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。

可知，其离开

-3-

磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，

到圆心的距离必相等。

如图2，过

点逆着速度

的方向作虚线，与

轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于

轴上，距O点距离和到虚线上

点垂直距离相

等的

点即为圆周运动的圆心，圆的半径

。

mv0

qBv0mv0

为：

由

R，得

。

弦长

3mv0

要使圆形磁场区域面积最小，半径应为

的一半，即：

2qB，

23m2v02

面积Sminr4q2B2

（2）粒子运动的圆心角为

1200，时间

3qB。

（3）距离，故点的坐标为（，0）。

点评：

此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。

【例1-3】在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断

以相同速率

沿不同方向射入第一象限，如图所示。

现加一个垂直于

平面向

内、磁感强度为

的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于

轴向x正

方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

解析：

电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力：

eBv0

mv02

，半径R

mv0是确定的，

设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图

a所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆

O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。

圆

O2在ｘ轴上方的

1个

圆弧odb就是磁场的上边界。

其它

各圆轨迹的圆心所连成的线必为以

点O为圆心，以R为半径的圆弧

O1OmO2。

由于要求所有电子均平

行于x轴向右飞出磁场，故由几何

知识知电子的飞出点必为每条可能

轨迹的最高点。

可证明，磁场下边

界为一段圆弧，只需将这些圆心连

-4-

线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为R

mv0

的距离即图b中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，

即为磁场区域的下边界。

两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：

（2）

mv0

）

s2（R

）

（

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。

设某电子的速度

V0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方

向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（

x，y），从图c中看出，

，

即

（x＞0，y＞0），这是个圆方程，

圆心在（0，R）处，圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下边界。

点评：

这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，

磁场下边界的处理对学

生的数理结合能力和分析能力要求较高。

【例题1-4】（2009

年海南卷，第16题）如图，ABCD是边长为a的正方形。

质量为m、电荷量为e的

电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于

BC边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC边上的任意点入射，都只能从

A点射出磁场。

不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

解：

（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为

B。

令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场

中的运行轨道。

电子所受到的磁场的作用力

ev0B

①

应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。

圆弧AEC

的圆心在CB边或其延长线上。

依题意，圆心在

A、C连线的中垂线上，

故B点即为圆心，圆半径为

a，按照牛顿定律有

fmv02

②

联立①②式得

mv0

③

（2）由

（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向

射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。

因而，圆弧AEC是所求

-5-

的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不

2）的情形。

该电子的运动轨迹

qpA如右图所示。

妨设

图中，圆弧AP的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧

AP的半径仍为a，在以D为原点、DC

为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标（x,y）为

asin

④

[a（a

acos）]

acos

⑤

2内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周

AFC，它是电子做

这意味着，在范围

直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以

B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周

AEC和AFC

所围成的，其面积为

S2（1a2

1a2）

2a2

评分参考：

本题10

分。

第

（1）问4分，①至③式各

1分；得出正确的磁场方向的，再给

1分。

第

（2）

问6分，得出“圆弧

AEC是所求磁场区域的一个边界”的，给

2分；得出所求磁场区域的另一个边界的，

再给2分；⑥式2分。

二、磁场的边界线为矩形

【例2】如图所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。

现有一质量为，

电量为的电子从第一象限的某点（，3L）以初速度沿

轴的负方向开始运动，经过轴上的点（L，0）进入第四象限，

先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左

边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原

点O，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。

求

-6-

（1）电子经过点的速度；

（2）该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。

解析：

（1）电子从点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到点，可知竖直方向：

，水平方向：

解得。

而，所以电子经过点时的速度为：

，设与方向的夹角为θ，可知

，所以θ＝300。

（2）如图，电子以与成30°进入第四象限后先沿做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域

做匀速圆周运动恰好以沿轴向上的速度经过Ｏ点。

可知圆周运动的圆心一定在Ｘ轴上，且点到O

点的距离与到直线上M点（M点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出点，画出其运动的部

分轨迹为弧MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。

设偏转半径为，，由图知ＯＱ＝＝，解得，方向垂直纸面向

里。

矩形磁场的长度，宽度。

矩形磁场的最小面积为：

点评：

此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确定。

三、磁场的边界线为三角形

【例3-1】如图所示，一个质量为，带电量的粒子在BC

边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在

-7-

AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B

的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：

（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；

（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；

qBvm

v，

解析：

（1）由

R和

得：

，

（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由

M点作圆周运动到N

点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨

迹的切线方向并垂直于半径，如图作出圆

O，粒子的运动轨迹为

弧GDEF，圆弧在Ｇ点与初速度方向相切，在

F点与出射速度相

切。

画出三角形

，其与圆弧在

D、E两点相切，并与圆Ｏ交

于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。

由数学知识可知∠

FOG＝600，所以粒子偏转的圆心角为

3000，运动的时

55m

间63qB

（3）连接

并延长与

交与Ｈ点，由图可知

2r，

2，

Lac

2rrcos300

（4

1）mv

该正三角形区域磁场的最小边长

cos300

处在磁场的边界上.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0≤v≤E/B）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左。

.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：

（1）速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间.

（2）磁场区域的最小面积.

（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小（只要写出最远距离的最终结果，不要求写出解题过程）

-8-

-9-

【例3-2】如图所示，在倾角为

30°的斜面OA的左侧有一竖直挡板，挡

板上有一小孔P,现有一质量m

41020kg、电量q

1014C带电

粒子，从小孔以速度

v0310

水平射向磁感应强度

0.2T、方

向垂直于纸平面向里的一正三角形区域。

该粒子在运动过程中始终不碰及

竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面

OA上，粒子重力不计。

求：

（1）粒子在磁场中作圆周运动的半径

R；

（2）粒子在磁场中运动的时间

t；

（3）正三角形磁场区域的最小边长

解：

（1）带电粒子从b点进入磁场，从

c点离开磁场，在磁场中做匀

-10-

qBv0

mv02

速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力：

则粒子在磁场中作圆周运动的半径

1020

21014

0.2

m0.3m

（2）粒子在磁场中运动的时间

6,而

所以

5.23

105s

2RRcos30

（3）正三角形磁场区域的最小边长

cos300

0.99m

点评：

这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，

必须将射入速度与从

AC边射出速度的

反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。

另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。

四、带电粒子能到达的空间范围

【例4-1】（2004年广东卷）（17分）如图，真空室内存在

匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小

B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平

行，在距ab的距离l16cm处，有一个点状的放射源S，

它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是

v3.0106m/s，已知粒子的电荷与质量之比

q5.0107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的粒

子，求ab上被粒子打中的区域的长度。

qBv0

mv02

解：

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力：

R，所以

mv0

3106

107

m0.1m

0.6

当

粒子的某一圆轨迹与平面感光板

ab相交于P点，且SP是

直径，P点是

粒子能打到感光板的最右侧，则

OP（2R）2

0.12m

当

粒子的某一圆轨迹与平面感光板

ab相切于Q点，Q点是

粒子能打到感光板的最左侧，则

（R2（lR）2

0.08m

-11-

所以，ab上被

粒子打中的区域的长度

LQO

OP0.2m

【例4-2】（2005

年卷Ⅰ）如图1中，在一水平放置的平板

MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大

小为B，磁场方向垂直于纸面向里。

许多质量为

m带电量为+q的粒子，以相同的速率

v沿位于纸面内的

各个方向，由小孔O射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间的相互影响。

下列图中阴影部分表示带电粒子

可能经过的区域，其中

mv。

哪个图是正确的？

（

）

由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定确定带电粒子能到达的空间范围，或应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。

-12-

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