全国高考理科数学试题及答案全国卷3文档格式.docx
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的系数为()
C.40D.80
【解析】由二项式定理可得,原式展开中含
的项为
的系数为40,故选C.
5.已知双曲线
(
)的一条渐近线方程为
,且与椭圆
有公共焦点.则
的方程为()
B.
C.
D.
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为
①
又∵椭圆
与双曲线有公共焦点,易知
②
由①②解得
,则双曲线
的方程为
,故选B.
6.设函数
,则下列结论错误的是()
的一个周期为
B.
的图像关于直线
对称
C.
的一个零点为
D.
在
单调递减
【答案】D
【解析】函数
的图象可由
向左平移
个单位得到,
如图可知,
上先递减后递增,D选项错误,故选D.
7.执行右图的程序框图,为使输出
的值小于91,则输入的正整数
的最小值为()
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】程序运行过程如下表所示:
初始状态01001
第1次循环结束100
2
第2次循环结束9013
此时
首次满足条件,程序需在
时跳出循环,即
为满足条件的最小值,故选D.
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
C.
D.
【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径
则圆柱体体积
9.等差数列
的首项为1,公差不为0.若
成等比数列,则
前6项的和为()
C.3D.8
【解析】∵
为等差数列,且
成等比数列,设公差为.
则
,即
又∵
,代入上式可得
∴
,故选A.
10.已知椭圆
)的左、右顶点分别为
,且以线段
为直径的圆与直线
相切,则
的离心率为()
【解析】∵以
为直径为圆与直线
相切,∴圆心到直线距离等于半径,
∴
又∵
,则上式可化简为
∵
,可得
,故选A
11.已知函数
有唯一零点,则
D.1
【解析】由条件,
,得:
为
的对称轴,
由题意,
有唯一零点,
的零点只能为
即
解得
.
12.在矩形
中,
,动点
在以点
为圆心且与
相切的圆上.若
的最大值为()
A.3B.
【解析】由题意,画出右图.
设
与
切于点
,连接
以
为原点,
为轴正半轴,
为轴正半轴建立直角坐标系,
则
点坐标为
切
于点
⊥
是
中斜边
上的高.
的半径为
上.
点的轨迹方程为
点坐标
,可以设出
点坐标满足的参数方程如下:
而
两式相加得:
(其中
)
当且仅当
时,
取得最大值3.
二、填空题:
(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若x,y满足约束条件
的最小值为________.
【答案】
【解析】由题,画出可行域如图:
目标函数为
,则直线
纵截距越大,值越小.
由图可知:
处取最小值,故
14.设等比数列
满足
________.
为等比数列,设公比为.
显然
得
,代入
式可得
15.设函数
则满足
的x的取值范围是________.
由图象变换可画出
的图象如下:
由图可知,满足
的解为
.
16.,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形
的直角边
所在直线与
,都垂直,斜边
以直线
为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线
与成
角时,
角;
②当直线
③直线
与所成角的最小值为
;
④直线
与所成角的最大值为
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意知,
三条直线两两相互垂直,画出图形如图.
不妨设图中所示正方体边长为1,
斜边
为旋转轴旋转,则
点保持不变,
点的运动轨迹是以
为圆心,1为半径的圆.
为坐标原点,以
为轴正方向,
为轴正方向建立空间直角坐标系.
直线的方向单位向量
点起始坐标为
点在运动过程中的坐标
其中为
的夹角,
那么
在运动过程中的向量
与所成夹角为
,所以③正确,④错误.
当
与夹角为
时,即
,此时
∴②正确,①错误.
三、解答题:
(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求c;
(2)设
边上一点,且
,求
的面积.
(1)由
,又
,得
由余弦定理
.又∵
代入并整理得
,故
(2)∵
为直角三角形,
由勾股定理
又
18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间
,需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量
(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为
元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:
瓶)为多少时,
的数学期望达到最大值?
【解析】⑴易知需求量可取
则分布列为:
⑵①当
时:
,当
时取到.
②当
此时
③当
④当
时,易知一定小于③的情况.
综上所述:
时,取到最大值为
.
19.(12分)如图,四面体
是正三角形,
是直角三角形.
(1)证明:
平面
(2)过
的平面交
,若平面
把四面体
分成体积相等的两部分.求二面角
的余弦值.
【解析】⑴取
中点为
为等边三角形
即
为等腰直角三角形,
为直角又
为底边
中点
令
易得:
由勾股定理的逆定理可得
由面面垂直的判定定理可得
⑵由题意可知
到平面
的距离相等
为轴正方向,设
,建立空间直角坐标系,
设平面
的法向量为
,平面
,解得
若二面角
为,易知为锐角,
20.(12分)已知抛物线
,过点(2,0)的直线交
于
两点,圆
是以线段
为直径的圆.
坐标原点
在圆
上;
(2)设圆
过点
(4,
),求直线与圆
的方程.
【解析】⑴显然,当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.
联立:
恒大于,
⑵若圆
化简得
或
①当
圆心为
半径
则圆
②当
21.(12分)已知函数
(1)若
,求的值;
为整数,且对于任意正整数,
的最小值.
【解析】⑴
,且
上单调增,所以
,不满足题意;
上单调递减;
上单调递增.
①若
上单调递增∴当
时
矛盾
②若
上单调递减∴当
③若
上单调递减,在
上单调递增∴
满足题意
综上所述
⑵当
则有
时等号成立
一方面:
另一方面:
的最小值为.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为
(t为参数),直线
的参数方程为