考研数学三真题与答案详细讲解文档格式.docx

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（C）

【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；

二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.

（3）设,函数在上连续,则（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（B）

【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域

所以，

故选B.

（4）下列级数中发散的是（）

（A）（B）

（C）（D）

【解析】A为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；

B为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；

C，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；

D为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C.

（5）设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为（）

【解析】，

由，故或，同时或.故选（D）

（6）设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为（）

（A）（B）

（A）

【解析】由，故.

且.

又因为

故有

所以.选（A）

（7）若为任意两个随机事件,则:

（）

（A）（B）

【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选（C）.

（8）设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则（）

（A）（B）

（C）（D）

【解析】根据样本方差的性质，而，从而，选（B）.

二、填空题：

914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）

【解析】原极限

（10）设函数连续，若则

【解析】因为连续，所以可导，所以；

因为，所以

又因为，所以

故

（11）若函数由方程确定，则

【解析】当，时带入，得.

对求微分，得

把，，代入上式，得

所以

（12）设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则

【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即

，，所以，，故

（13）设3阶矩阵的特征值为，其中E为3阶单位矩阵，则行列式

【答案】

【解析】的所有特征值为的所有特征值为

所以.

（14）设二维随机变量服从正态分布，则

【解析】由题设知，，而且相互独立，从而

.

三、解答题：

15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

设函数.若与在时是等价无穷小，求的值.

【解析】法一：

因为，，

则有，，

可得：

，所以，．

法二：

由已知可得得

由分母，得分子，求得c；

于是

由分母，得分子

，求得；

进一步，b值代入原式

，求得

（16）（本题满分10分）

计算二重积分，其中

【解析】

（17）（本题满分10分）

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.

（I）证明定价模型为；

（II）若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.

（I）略（II）.

（I）由于利润函数,两边对求导，得

.

当且仅当时，利润最大，又由于,所以,

故当时，利润最大.

（II）由于,则代入（I）中的定价模型，得,从而解得.

（18）（本题满分10分）

设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求表达式.

【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为

故面积为：

故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,

解得，又由于，带入可得，从而

（19）（本题满分10分）

（I）设函数可导，利用导数定义证明

（II）设函数可导，，写出的求导公式.

（I）

（II）由题意得

（20）（本题满分11分）

设矩阵，且.

（I）求的值；

（II）若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.

（II）由题意知

，

（21）（本题满分11分）

设矩阵相似于矩阵.

（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.

（1）

的特征值

时的基础解系为

A的特征值

令，

（22）（本题满分11分）

设随机变量的概率密度为,对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数

（I）求的概率分布；

（II）求.

（I），；

（II）.

（I）记为观测值大于3的概率，则，

从而，为的概率分布；

（II）法一:

分解法:

将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生.

则，（注：

Ge表示几何分布）

法二:

直接计算

记，则，

从而.

（23）（本题满分11分）

设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.

（I）求的矩估计量；

（II）求的最大似然估计量.

（I）；

（II）.

（I），

令，即，解得为的矩估计量；

（II）似然函数，

当时，，则.

从而，关于单调增加，

所以为的最大似然估计量.

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