广东省六校届高三第三次联考数学理试题含答案Word格式.docx
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8.如图,在同一个平面内,三个单位向量满足条件:
与的夹角为,且,与与的夹角为45°
.若,则的值为()
A.3B.C.D.
9.四面体中,三组对棱的长分别相等,依次为,则的取值范围是()
10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个,放入红、黄、蓝色的三个袋子中,每个袋子至多放入一个球,且球色与袋色不同,那么不同的放法有()
A.42种B.36种C.72种D.46种
11.已知点为双曲线的右焦点,直线与交于两点,若,设,且,则该双曲线的离心率的取值范围是()
12.已知是函数与图象的两个不同的交点,则的取值范围是()
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数是定义在上的奇函数,则.
14.已知函数,若,则函数恒过定点.
15.已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图为一正方形,则该几何体的表面积为.
16.若函数的图象上存在不同的两点,其中使得的最大值为0,则称函数是“柯西函数”.给出下列函数:
①;
②;
③;
④.
其中是“柯西函数”的为(填上所有正确答案的序号).
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设数列的前项和为,数列的前项和为,满足.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式.
18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品,然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
(Ⅰ)若小店一天购进16份,求当天的利润(单位:
元)关于当天需求量(单位:
份,)的函数解析式;
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量(单位:
份),整理得下表:
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
13
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品,表示当天的利润(单位:
元),求的分布列及数学期望;
(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据,你认为一天应购进食品16份还是17份?
19如图,在四棱锥中,是平行四边形,,,
分别是的中点.
(Ⅰ)证明:
平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
20.已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的左、右顶点点满足.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线经过点且与交于不同的两点,试问:
在轴上是否存在点,使得与直线的斜率的和为定值?
若存在,请求出点的坐标及定值;
若不存在,请说明理由.
21.已知函数,其中.
(Ⅰ)函数的图象能否与轴相切?
若能,求出实数,若不能,请说明理由;
(Ⅱ)求最大的整数,使得对任意,不等式恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,射线,分别与曲线交于三点(不包括极点).
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)当时,若两点在直线上,求与的值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)若,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
2018届广东省六校第三次联考
理科数学参考答案
一、选择题
1-5:
BADAA6-10:
CCBCA11、12:
DD
二、填空题
13.14.15.16.①④
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)∵,,∴.
∵,∴.
(Ⅱ)∵①,…②,
∴①-②得,,∵,
∴…③,
…④,③-④得,,
.
∵,∴是首项3公比2的等比数列,,
故.
18.解:
(Ⅰ)当日需求量时,利润,
当日需求量时,利润,
所以关于的函数解析式为.
(Ⅱ)(i)可能的取值为62,71,80,
并且,.的分布列为:
62
71
80
0.1
0.2
0.7
的数学期望为元.
(ii)若小店一天购进17份食品,表示当天的利润(单位:
元),那么的分布列为
58
67
76
85
0.16
0.54
由以上的计算结果可以看出,,即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润.所以,小店应选择一天购进17份.
19.
解法一:
(Ⅰ)取中点,连,∵,∴,
∵是平行四边形,,
∴,
∴是等边三角形,∴,
∵,∴平面,∴.
∵分别是的中点,∴,,
∴,,∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∴是二面角的平面角.
∵,
在中,根据余弦定理得,,
∴二面角的余弦值为.
解法二:
(Ⅰ)∵是平行四边形,,
,∴,
∴是等边三角形,∵是的中点,
∴,∵,
∴.
分别以的方向为轴、轴的正方向,为坐标原点,
如图建立空间直角坐标系.
则,,
设,∵,,解得,
∴可得,
∵是的中点,∴,∵,∴,∵,
∴平面,∵平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设是平面的法向量,则,∴,
令,则,
又是平面的法向量,
∴,
注:
直接设点,或者说平面,,酌情扣分.
20.解:
(Ⅰ)依题意,、,,
∴,
由,,得,∵,
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时,
它与椭圆只有一个交点,不满足题意.
因此直线的斜率存在,设,由,消得
,
设,则,
∵
∴要使对任意实数为定值,则只有,此时,.
故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值1.
21.解:
(Ⅰ)由于.
假设函数的图象与轴相切于点,
则有,即.
显然代入方程中得,.
∵,∴无解.故无论取何值,函数的图象都不能与轴相切.
(Ⅱ)依题意,
恒成立.
设,则上式等价于,要使
对任意恒成立,即使在上单调递增,
∴在上恒成立.
则,∴在上成立的必要条件是:
下面证明:
当时,恒成立.
设,则,当时,,当时,,
∴,即.那么,
当时,,∴恒成立.
因此,的最大整数值为3.
22.解:
依题意,,
则.
(Ⅱ)当时,两点的极坐标分别为,
化直角坐标为.
经过点的直线方程为,
又直线经过点,倾斜角为,故.
23.解:
(Ⅰ)∵,∴,
①当时,得,∴;
②当时,得,∴;
③当时,得,∴.
综上所述,实数的取值范围是.
(Ⅱ)∵,根据绝对值的几何意义知,当时,的值最小,
∴,即,
解得或.∴实数的取值范围是.