数学分析欧阳光中考试大纲Word文件下载.docx

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学分数：

17

考核对象：

数学教育专业与应用数学专业

执笔者：

编写日期：

2012-1-24

一、课程性质与考试目的：

本课程是数学系数学与应用数学和数学教育各专业的专业基础课，其授课对象是该专业的本科一、二年级学生。

《数学分析》的考试目的：

使学生较系统地掌握《数学分析》的基础理论和基础知识，能熟练地进行基本运算，具有较强的分析论证和逻辑推理能力，具备一定解决实际问题的能力，具有创新意识，为学习后续课程打下基础。

二、考试内容及要求：

第一章变量与函数

【本章重点】函数的定义，复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质。

1、考试内容：

无理数与有理数及其基本性质，三角不等式，区间与邻域的定义，函数的定义，函数的几何特性（单调性、有界性、奇偶性，周期性），反函数的定义与性质。

复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质；

初等函数的概念及分解。

2、考核要求：

（1）了解：

常量与变量，无理数与有理数及其基本性质，三角不等式，双曲函数的概念及其性质。

（2）理解：

区间与邻域的定义，函数的几何特性（单调性、有界性、奇偶性，周期性）反函数的定义与性质，初等函数。

（3）掌握：

函数的定义，复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质。

（4）应用

第二章一元函数的极限与连续

【本章重点】数列极限定义、性质和运算；

函数极限定义、性质和运算；

海涅定理，重要极限；

连续函数的定义、性质和运算；

一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。

数列极限定义、性质和运算，有界数列和单调数列的概念；

函数值趋于无穷大的情形。

无穷大（小）量，无穷小量的性质与运算，单侧极限的定义，无穷小量和无穷大量的阶；

单侧连续与区间连续的概念，一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。

函数间断点及其分类，基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。

数列的变化趋势，函数值趋于无穷大的情形。

无穷大（小）量，有界数列和单调数列的概念，无穷小量的性质与运算，单侧极限的定义，无穷小量和无穷大量的阶；

单侧连续与区间连续的概念，函数间断点及其分类，基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。

数列极限定义、性质和运算；

第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

【本章重点】实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。

闭区间上连函数性质的证明。

子列的定义及其基本性质，确界、聚点、覆盖等概念；

实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则，聚点定理等）；

函数极限存在的柯西收敛准则；

闭区间上连函数性质。

聚点定义与聚点定理，函数极限存在的柯西收敛准则。

子列的定义及其基本性质，确界的定义，覆盖的定义。

实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。

第四章导数与微分

【本章重点】导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。

速度与切线等实际问题的瞬时变化率。

导数的定义，单侧导数与区间可导的定义，导函数与导数的几何意义，反函数的导数，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，微分的运算法则，高阶微分。

隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。

单侧导数与区间可导的定义，导函数及其几何意义，反函数的导数，微分的运算法则，不可导之例，高阶微分。

导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。

第五章微分基本定理及导数的应用

【本章重点】微分中值定理（费马、罗尔、拉格朗日，柯西等定理）及其证明和应用，函数的单调性、凸性与极值，用洛比塔法则求待定型的极限。

微分中值定理（费马、罗尔、拉格朗日，柯西等定理）及其证明和应用，泰勒公式与马克劳林公式及其余项，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，利用微分求近似值及其误差估计，弧长微分，函数的单调性、凸性与极值，渐近线，描图，平面曲线的曲率及计算，用洛比塔法则求待定型的极限。

利普希茨条件，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，平面曲线的曲率及计算，方程的近似解（切线法）。

利用微分求近似值及其误差估计，泰勒公式与马克劳林公式及其余项，渐近线，描图，弧长微分。

微分中值定理（费马、罗尔、拉格朗日，柯西等定理）及其证明和应用，函数的单调性、凸性与极值，用洛比塔法则求待定型的极限。

第六章不定积分

【本章重点】

（正文小四宋体，下同）基本积分公式及线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，无理函数有理式与三角函数有理式的不定积分之求法。

原函数、不定积分的概念，原函数的存在性，原函数的结构及其几何意义，基本积分公式及线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，无理函数有理式与三角函数有理式的不定积分之求法。

原函数的存在性。

原函数的结构及其几何意义。

原函数、不定积分的概念，含因子的换元变换、含因子的欧拉变换与三角函数的万能变换。

基本积分公式及线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，无理函数有理式与三角函数有理式的不定积分之求法。

第七章定积分

【本章重点】定积分的定义，可积的必要条件，振幅的概念及可积的充要条件及定积分存在的第二充要条件，可积函数类及定积分的性质，第一积分中值定理，牛顿—莱布尼兹公式及其利用此公式计算定积分，定积分换元积分法、分部积分法。

定积分的定义，可积的必要条件，达布上和与下和的定义及性质，达布定理，定积分存在的第一充要条件，振幅的概念与定积分存在的第二充要条件，可积函数类及定积分的性质，第一积分中值定理，变上限函数及其性质，牛顿—莱布尼兹公式和利用此公式计算定积分，定积分换元积分法、分部积分法。

奇、偶函数在对称区间上的积分性质，将有限和式转化为定积分之计算方法。

区边梯形面积之近似求法，变速直线运动路程之近似求法，按定义计算定积分，椭圆积分，周期函数之积分性质。

达布上和与下和的定义及性质，达布定理，定积分存在的第一充要条件，变上限函数与性质，奇、偶函数在对称区间上的积分性质，将有限和式转化为定积分之计算方法。

定积分的定义，可积的必要条件，振幅的概念及可积的充要条件及定积分存在的第二充要条件，可积函数类及定积分的性质，第一积分中值定理，牛顿—莱布尼兹公式及其利用此公式计算定积分，定积分换元积分法、分部积分法。

第八章定积分的应用和近似计算

【本章重点】平面图形的面积之求法（直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形），平面曲线的弧长之求法，旋转体的体积与侧面积之求法。

微元法，平面图形的面积之求法（直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形），光滑曲线，弧长公式，平面曲线的弧长之求法，已知截面面积求体积，旋转体的体积与侧面积之求法。

质心、平均值、变力作功。

光滑曲线，定积分的近似计算。

微元法，弧长公式，已知截面面积求体积，质心、平均值、变力作功。

平面图形的面积之求法（直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形），平面曲线的弧长之求法，旋转体的体积与侧面积之求法。

第九章数项级数

【本章重点】无穷级数收敛与发散的定义，几何级数之敛散性，级数收敛的柯西收敛原理，收敛的必要条件，正项级数收敛的充要条件，比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式，p-级数之敛散性，绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断。

上（下）极限定义与相关性质，无穷级数收敛与发散的定义，几何级数之敛散性，级数收敛的柯西收敛原理，收敛的必要条件，收敛级数的性质，正项级数收敛的充要条件，比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式，p-级数之敛散性，积分判别法，绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断，阿贝尔变换及其性质，阿贝尔与狄里克里判别法，绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。

上（下）极限定义与相关性质，阿贝尔变换及其性质，黎曼定理、柯西乘积与性质，无穷乘积的概念及其性质与收敛性判断。

收敛级数的性质，积分判别法，阿贝尔与狄里克里判别法，绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。

无穷级数收敛与发散的定义，几何级数之敛散性，级数收敛的柯西收敛原理，收敛的必要条件，正项级数收敛的充要条件，比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式，p-级数之敛散性，绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断。

第一十章广义积分

【本章重点】无穷积分敛散性的定义，柯西收敛准则，无穷积分之敛散性的判断（比较、柯西判别法及其极限形式），瑕积分敛散性的定义，柯西收敛准则和柯西判别法及其极限形式。

无穷积分与瑕积分敛散性的定义、性质与敛散性的判断法，无穷积分与数项级数的关系，瑕积分与无穷积分的关系。

广义积分的柯西主值。

无穷积分的敛散性，无穷积分的性质，绝对收敛和条件收敛的概念，无穷积分与数项级数的关系，阿贝尔与狄里克里判别法，第二积分中值定理，瑕积分与无穷积分的关系，瑕积分的敛散性。

无穷积分敛散性的定义，柯西收敛准则，无穷积分之敛散性的判断（比较、柯西判别法及其极限形式），瑕积分敛散性的定义，柯西收敛准则和柯西判别法及其极限形式。

第一十一章函数项级数、幂级数

【本章重点】函数项级数一致收敛定义与充要条件，一致收敛的魏氏判别法，一致收敛级数之和函数的分析性质（连续、可微、可积），幂级数之和函数的分析性质及其应用。

函数列、函数级数、幂级数的基本概念，函数项级数一致收敛定义与充要条件，一致收敛的魏氏判别法，一致收敛级数之和函数的分析性质（连续、可微、可积），幂级数的收敛半径和收敛区间之概念，内闭一致收敛，阿贝尔与狄里克里判别法，柯西-阿达马定理，阿贝尔第一定理与第二定理，函数的幂级数展开，幂级数之和函数的分析性质及其应用。

函数列与函数级数的关系，利用幂级数展开法求近似值，逼近定理。

幂级数的基本概念，内闭一致收敛，阿贝尔与狄里克里判别法，幂级数的收敛半径和收敛区间之概念，柯西-阿达马定理，阿贝尔第一定理与第二定理，函数的幂级数展开及其函数的马克劳林级数。

函数项级数一致收敛定义与充要条件，一致收敛的魏氏判别法，一致收敛级数之和函数的分析性质（连续、可微、可积），幂级数之和函数的分析性质及其应