1、学分数: 17考核对象:数学教育专业与应用数学专业 执笔者:编写日期:2012-1-24 一、 课程性质与考试目的:本课程是数学系数学与应用数学和数学教育各专业的专业基础课,其授课对象是该专业的本科一、二年级学生。数学分析的考试目的:使学生较系统地掌握数学分析的基础理论和基础知识,能熟练地进行基本运算,具有较强的分析论证和逻辑推理能力,具备一定解决实际问题的能力,具有创新意识,为学习后续课程打下基础。二、 考试内容及要求:第一章 变量与函数【本章重点】函数的定义,复合函数的定义与性质,基本初等函数的概念及其基本性质。1、考试内容:无理数与有理数及其基本性质,三角不等式,区间与邻域的定义,函数的
2、定义,函数的几何特性(单调性、有界性、奇偶性,周期性),反函数的定义与性质。复合函数的定义与性质,基本初等函数的概念及其基本性质;初等函数的概念及分解。2、考核要求:(1)了解:常量与变量,无理数与有理数及其基本性质,三角不等式,双曲函数的概念及其性质。(2)理解:区间与邻域的定义,函数的几何特性(单调性、有界性、奇偶性,周期性)反函数的定义与性质,初等函数。(3)掌握:函数的定义,复合函数的定义与性质,基本初等函数的概念及其基本性质。(4)应用第二章 一元函数的极限与连续【本章重点】数列极限定义、性质和运算;函数极限定义、性质和运算;海涅定理,重要极限;连续函数的定义、性质和运算;一致连续的
3、定义,闭区间上连续函数的性质。数列极限定义、性质和运算,有界数列和单调数列的概念;函数值趋于无穷大的情形。无穷大(小)量,无穷小量的性质与运算,单侧极限的定义,无穷小量和无穷大量的阶;单侧连续与区间连续的概念,一致连续的定义,闭区间上连续函数的性质。函数间断点及其分类,基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。数列的变化趋势,函数值趋于无穷大的情形。无穷大(小)量,有界数列和单调数列的概念,无穷小量的性质与运算,单侧极限的定义,无穷小量和无穷大量的阶;单侧连续与区间连续的概念,函数间断点及其分类,基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。数列极限定义、性质和运算;第三章 关于实数的基本定理及闭
4、区间上连续函数性质的证明【本章重点】实数的基本定理(确界定理,单调有界必有极限定理,闭区间套定理,致密性定理,有限覆盖定理,柯西收敛准则等)。闭区间上连函数性质的证明。子列的定义及其基本性质,确界、聚点、覆盖等概念;实数的基本定理(确界定理,单调有界必有极限定理,闭区间套定理,致密性定理,有限覆盖定理,柯西收敛准则,聚点定理等);函数极限存在的柯西收敛准则;闭区间上连函数性质。聚点定义与聚点定理,函数极限存在的柯西收敛准则。子列的定义及其基本性质,确界的定义,覆盖的定义。实数的基本定理(确界定理,单调有界必有极限定理,闭区间套定理,致密性定理,有限覆盖定理,柯西收敛准则等)。第四章 导数与微分
5、【本章重点】导数的定义,基本初等函数的导数,求导法则(四则运算,复合运算),微分的定义,隐函数与参数方程表示函数的求导法,高阶导数及其莱布尼兹公式。速度与切线等实际问题的瞬时变化率。导数的定义,单侧导数与区间可导的定义,导函数与导数的几何意义,反函数的导数,基本初等函数的导数,求导法则(四则运算,复合运算),微分的定义,微分的运算法则,高阶微分。隐函数与参数方程表示函数的求导法,高阶导数及其莱布尼兹公式。单侧导数与区间可导的定义,导函数及其几何意义,反函数的导数,微分的运算法则,不可导之例,高阶微分。导数的定义,基本初等函数的导数,求导法则(四则运算,复合运算),微分的定义,隐函数与参数方程表
6、示函数的求导法,高阶导数及其莱布尼兹公式。第五章 微分基本定理及导数的应用【本章重点】微分中值定理(费马、罗尔、拉格朗日,柯西等定理)及其证明和应用,函数的单调性、凸性与极值,用洛比塔法则求待定型的极限。微分中值定理(费马、罗尔、拉格朗日,柯西等定理)及其证明和应用,泰勒公式与马克劳林公式及其余项,指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式,利用微分求近似值及其误差估计,弧长微分,函数的单调性、凸性与极值,渐近线,描图,平面曲线的曲率及计算,用洛比塔法则求待定型的极限。利普希茨条件,指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式,平面曲线的曲率及计算,方程的近似解(切线法)。利
7、用微分求近似值及其误差估计,泰勒公式与马克劳林公式及其余项,渐近线,描图,弧长微分。微分中值定理(费马、罗尔、拉格朗日,柯西等定理)及其证明和应用,函数的单调性、凸性与极值,用洛比塔法则求待定型的极限。第六章 不定积分【本章重点】(正文小四宋体,下同)基本积分公式及线性运算法则,换元积分法、分部积分法,有理函数积分法,无理函数有理式与三角函数有理式的不定积分之求法。原函数、不定积分的概念,原函数的存在性,原函数的结构及其几何意义,基本积分公式及线性运算法则,换元积分法、分部积分法,有理函数积分法,无理函数有理式与三角函数有理式的不定积分之求法。原函数的存在性。原函数的结构及其几何意义。原函数、
8、不定积分的概念,含 因子的换元变换、含因子的欧拉变换与三角函数的万能变换。基本积分公式及线性运算法则,换元积分法、分部积分法,有理函数积分法,无理函数有理式与三角函数有理式的不定积分之求法。第七章 定积分【本章重点】定积分的定义,可积的必要条件,振幅的概念及可积的充要条件及定积分存在的第二充要条件,可积函数类及定积分的性质,第一积分中值定理,牛顿莱布尼兹公式及其利用此公式计算定积分,定积分换元积分法、分部积分法。定积分的定义,可积的必要条件,达布上和与下和的定义及性质,达布定理 ,定积分存在的第一充要条件,振幅的概念与定积分存在的第二充要条件,可积函数类及定积分的性质,第一积分中值定理,变上限
9、函数及其性质,牛顿莱布尼兹公式和利用此公式计算定积分,定积分换元积分法、分部积分法。奇、偶函数在对称区间上的积分性质,将有限和式转化为定积分之计算方法。区边梯形面积之近似求法,变速直线运动路程之近似求法,按定义计算定积分,椭圆积分,周期函数之积分性质。达布上和与下和的定义及性质,达布定理 ,定积分存在的第一充要条件,变上限函数与性质,奇、偶函数在对称区间上的积分性质,将有限和式转化为定积分之计算方法。定积分的定义,可积的必要条件,振幅的概念及可积的充要条件及定积分存在的第二充要条件,可积函数类及定积分的性质,第一积分中值定理,牛顿莱布尼兹公式及其利用此公式计算定积分,定积分换元积分法、分部积分
10、法。第八章 定积分的应用和近似计算【本章重点】平面图形的面积之求法(直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形),平面曲线的弧长之求法,旋转体的体积与侧面积之求法。微元法,平面图形的面积之求法(直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形),光滑曲线,弧长公式,平面曲线的弧长之求法,已知截面面积求体积,旋转体的体积与侧面积之求法。质心、平均值、变力作功。光滑曲线,定积分的近似计算。微元法,弧长公式,已知截面面积求体积,质心、平均值、变力作功。平面图形的面积之求法(直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形),平面曲线的弧长之求法,旋转体的体积与侧面积之求法。第九章 数项级数【本章重点】无穷级数收敛与发
11、散的定义,几何级数之敛散性,级数收敛的柯西收敛原理,收敛的必要条件,正项级数收敛的充要条件,比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式,p-级数之敛散性,绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断。上(下)极限定义与相关性质,无穷级数收敛与发散的定义,几何级数之敛散性,级数收敛的柯西收敛原理,收敛的必要条件,收敛级数的性质,正项级数收敛的充要条件,比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式,p-级数之敛散性,积分判别法,绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断,阿贝尔变换及其性质,阿贝尔与狄里克里判别法,绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。上(下)极限定义与相关性质,阿贝尔变换及其性质,黎曼定理、柯西
12、乘积与性质,无穷乘积的概念及其性质与收敛性判断。收敛级数的性质,积分判别法,阿贝尔与狄里克里判别法,绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。无穷级数收敛与发散的定义,几何级数之敛散性,级数收敛的柯西收敛原理,收敛的必要条件,正项级数收敛的充要条件,比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式,p-级数之敛散性,绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断。第一十章 广义积分【本章重点】无穷积分敛散性的定义,柯西收敛准则,无穷积分之敛散性的判断(比较、柯西判别法及其极限形式),瑕积分敛散性的定义,柯西收敛准则和柯西判别法及其极限形式。无穷积分与瑕积分敛散性的定义、性质与敛散性的判断法,无穷积分与数项级数的关系
13、,瑕积分与无穷积分的关系。广义积分的柯西主值。无穷积分的敛散性,无穷积分的性质,绝对收敛和条件收敛的概念,无穷积分与数项级数的关系,阿贝尔与狄里克里判别法,第二积分中值定理,瑕积分与无穷积分的关系,瑕积分 的敛散性。无穷积分敛散性的定义,柯西收敛准则,无穷积分之敛散性的判断(比较、柯西判别法及其极限形式),瑕积分敛散性的定义,柯西收敛准则和柯西判别法及其极限形式。第一十一章 函数项级数、幂级数【本章重点】函数项级数一致收敛定义与充要条件,一致收敛的魏氏判别法,一致收敛级数之和函数的分析性质(连续、可微、可积),幂级数之和函数的分析性质及其应用。函数列、函数级数、幂级数的基本概念,函数项级数一致
14、收敛定义与充要条件,一致收敛的魏氏判别法,一致收敛级数之和函数的分析性质(连续、可微、可积),幂级数的收敛半径和收敛区间之概念,内闭一致收敛,阿贝尔与狄里克里判别法,柯西-阿达马定理,阿贝尔第一定理与第二定理,函数的幂级数展开,幂级数之和函数的分析性质及其应用。函数列与函数级数的关系,利用幂级数展开法求近似值,逼近定理。幂级数的基本概念,内闭一致收敛,阿贝尔与狄里克里判别法,幂级数的收敛半径和收敛区间之概念,柯西-阿达马定理,阿贝尔第一定理与第二定理,函数的幂级数展开及其函数 的马克劳林级数。函数项级数一致收敛定义与充要条件,一致收敛的魏氏判别法,一致收敛级数之和函数的分析性质(连续、可微、可积),幂级数之和函数的分析性质及其应
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