小初高学习学年高中数学人教A版选修45教学案第一讲一2基本不等式Word格式.docx

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即＋＋≥9.

法二：

∴＋＋＝（a＋b＋c）（＋＋）

＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1

∴＋＋≥9.

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．

1．已知a，b，c，d都是正数，求证：

（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.

证明：

因为a，b，c，d都是正数，

所以≥＞0，≥＞0，

所以≥abcd，

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.

当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．

2．已知a，b，c>

0，求证：

＋＋≥a＋b＋c.

∵a，b，c，，，均大于0，

又＋b≥2＝2a，

＋c≥2＝2b.

＋a≥2＝2c.

∴（＋b）＋（＋c）＋（＋a）

≥2（a＋b＋c）．

即＋＋≥a＋b＋c.

当且仅当＝b，＝c，＝a，

即a＝b＝c时取等号.

利用基本不等式求最值

[例2]　

（1）求当x>

0时，f（x）＝的值域；

（2）设0<

x<

，求函数y＝4x（3－2x）的最大值；

（3）已知x>

0，y>

0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

[思路点拨]　根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值．

[解]　

（1）∵x>

0，∴f（x）＝＝.

∵x＋≥2，∴0<

≤.

∴0<

f（x）≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．

即f（x）值域为（0,1]．

（2）∵0<

，∴3－2x>

0.

∴y＝4x（3－2x）＝2[2x（3－2x）]

≤22＝.

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

∴y＝4x（3－2x）的最大值为.

（3）∵x>

0，＋＝1，

∴x＋y＝（x＋y）＝＋＋10≥6＋10＝16.

当且仅当＝，又＋＝1，

即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，

有（x＋y）min＝16.

在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：

（1）首先看式子能否出现和（或积）的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取（－1）变为同正；

（3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．

3．已知x＞0，则2x＋的最小值和取得最小值时的x值分别是（　　）

A．8,2B．8,4

C．16,2D．16,4

解析：

2x＋≥2＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时，取“＝”号，故选A.

答案：

A

4．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是（　　）

A．40B．10

C．4D．2

∵x，y∈R＋，∴≤.

∴≤＝10.∴xy≤100.

∴lgx＋lgy＝lg（xy）≤lg100＝2.

D

5．（浙江高考）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（　　）

A.　　　　　　　　　B．

C．5D．6

∵x＋3y＝5xy，∴＋＝5，

∵x>

0，∴（3x＋4y）＝＋＋9＋4≥2＋13＝25，∴5（3x＋4y）≥25，

∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．

∴3x＋4y的最小值是5.

C

利用基本不等式解决实际问题

[例3]　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

（1）将2014年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数．

（2）该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

[思路点拨]　

（1）两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；

生产成本＝固定费用＋生产费用；

（2）表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．

[解]　

（1）由题意可设

3－x＝，

将t＝0，x＝1代入，得k＝2.

∴x＝3－.

当年生产x万件时，

∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.

当销售x万件时，

年销售收入为150%＋t.

由题意，生产x万件化妆品正好销完，

由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，

得年利润y＝（t≥0）．

（2）y＝＝50－

≤50－2＝50－2＝42，

当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，

∴当促销费定在7万元时，年利润最大．

利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；

其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f（x）（x一般为题目中最后所要求的量）；

最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．

6．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货（设每次进货x件），每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？

解：

设一年的运费和库存费共y元，

由题意知：

y＝×

50＋×

20＝＋10x≥2＝104，

当且仅当＝10x即x＝500时，ymin＝10000，

即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．

7.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：

元）．

（1）将y表示为x的函数；

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

（1）如题图所示，设矩形的另一边长为am.

则y＝45x＋180（x－2）＋180×

2a＝225x＋360a－360.

由已知xa＝360，得a＝，

所以y＝225x＋－360（x＞0）．

（2）∵x>

0，

∴225x＋≥2＝10800.

∴y＝225x＋－360≥10440，

当且仅当225x＝时，等号成立．

即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

对应学生用书P7

1．下列不等式中，正确的个数是（　　）

①若a，b∈R，则≥

②若x∈R，则x2＋2＋≥2

③若x∈R，则x2＋1＋≥2

④若a，b为正实数，则≥

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

显然①不正确；

③正确；

对②虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋>

2成立，故②正确；

④不正确，如a＝1，b＝4.

2．已知a>

0，b>

0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是（　　）

A．3B．4

∵a＋b＝2×

＝1，a>

∴α＋β＝a＋＋b＋

＝1＋≥1＋＝5，

当且仅当a＝b＝时取“＝”号．

3.“a＝1”是“对任意正数x,2x＋≥1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

当a＝1时，2x＋＝2x＋≥2（当且仅当x＝时取等号），所以a＝1⇒2x＋≥1（x＞0），反过来，对任意正数x，如当a＝2时，2x＋≥1恒成立，所以2x＋≥1⇒/　a＝1.

4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　）

A．5千米处B．4千米处

C．3千米处D．2千米处

由已知：

y1＝，

y2＝0.8x（x为仓库到车站的距离）．

费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋

≥2＝8.

当且仅当0.8x＝，

即x＝5时等号成立．

5．若x≠0，则f（x）＝2－3x2－的最大值是________，取得最值时x的值是________．

f（x）＝2－3（x2＋）≤2－3×

4＝－10，

当且仅当x2＝即x＝±

时取等号．

－10　±

6．当x＞时，函数y＝x＋的最小值为________．

因为x＞，所以x－＞0，

所以y＝x＋＝＋＋≥4＋＝，

当且仅当x－＝，即x＝时，取“＝”．

7．y＝（x>

0）的最小值是________．

0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.

当且仅当x＋1＝时取等号．

2－1

8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：

（1）＋＋≥8；

（2）≥9.

（1）∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，

＝2

＝2＋4

≥4＋4＝8（当且仅当a＝b＝时，等号成立），

∴＋＋≥8.

（2）∵＝＋＋＋1，

由

（1）知＋＋≥8.

∴≥9.

9．设x>

0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．

由x>

0且x＋y＝4.

得＝1，

∴＋＝·

＝

≥＝.

当且仅当＝时等号成立．

即y＝2x（∵x>

0，∴y＝－2x舍去）．

此时，结合x＋y＝4，

解得x＝，y＝.

∴＋的最小值为.

∴m≤.

∴m的取值范围为.

10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图所示）．

（1）若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；

（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？

（1）设休闲区的宽为a米，则其长为ax米，由a2x＝4000，得a＝.

则S（x）＝（a＋8）（ax＋20）＝a2x＋（8x＋20）a＋16