人教A版高中数学必修5《三章 不等式34 基本不等式aba+b2》优质课教案14.docx

人教A版高中数学必修5《三章 不等式34 基本不等式aba+b2》优质课教案14.docx

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人教A版高中数学必修5《三章不等式34基本不等式aba+b2》优质课教案14

课题：

基本不等式

章节

高中数学新人教版A必修5第三章3.4

科目

课时

1课时

单位

上课教师

指导教师

一、内容和内容解析

 本节课《基本不等式》是《数学必修五（人教A版）》第三章,本章的主要内容是是不等式,不等式在高中数学中的地位重要。

数的关系有等量与不等量两种关系。

从小学一直

到初中，学生更多的是在研究等量关系，而本章不等式是学生第一次比较系统的研究不

等量关系，且在新课程学习中有较高要求，对于学生数学概念的建立能够起到积极的作用。

而本节课是第四节的内容，也是本章的核心所在，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式,并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用。

在《新课程标准》中，对不等式的总体要求是：

学会处理不等关系，认识均值不等式及其简单应用；体会不等式，方程及函数之间的联系。

看似对均值不等式的要求不是非常高，要求掌握好两个字母之间的关系就可以了。

但就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种数学问题的研究中均有着广泛的应用；高考对数学思想的考察比较重视，往往高考在考察函数最值问题时很多情况下就需要利用均值不等式去解决问题，所以结合函数，对均值不等式的使用是比较高频率的．学好本节有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用。

同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

二、目标和目标解析

根据《课程标准》的要求，本节内容的目标定位如下：

通过应用问题的解决，再次明确解决应用题的一般过程。

这是一个过程性目标，希望学生学会分析思考问题。

在应用题的解决过程中，体会均值不等式的变形使用及使用条件，学生自己探索；学会建立函数，剩用不等式求函数最值；总结出和定积最大，积定和最小的规律。

学生在最值应用题中能体会数学在节约型社会的实际意义。

知道数学源于社会，应用于社会，能对数学产生更浓厚兴趣。

所以这部分内容更加体现了新课程的精神要求．对新课标的执行能取到示范作用。

1、知识要求：

掌握基本不等式的推导及应用。

了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。

这是一个过程性目标。

借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式

的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

2、能力要求：

通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生形象思维、逻辑思维和解决问题的能力。

善于从已知因素中看出新的因素，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质，当条件变更时能迅速找到新的解题方法．有些题型直接应用均值不等式的条件不是很明显，要引导学生善于观察分析，发现隐含的条件，并灵活转换成适合应用均值不等式的条件，从而培养学生思维的灵活性和解决问题的能力．

3、育人要求：

养成创新意识和创新能力，进一步加强学生的实践能力。

教学的首要环节不是向学生展示知识点．而应是精心组织材料，创造性地设计问题．激发学生的参与意识．培养学生的探究精神和创新能力．学生较自由地思维和

表达．在“心理安全”的条件下进行创新思维和想象．让学生在学习过程中敢于标新立异．在“心理自由”的条件下培养求异思维、聚合思维、逆向思维等多种思维方式．建立和谐的师生系．营造创新的氛围．只有师生关系和谐．才能使他们的心理距离接近．心情舒畅．才有可能使学生的创新精神获得最大限度的表现和发展．陶行知先生说：

“只有民主才能解放最大多数人的创造力．而且使最大多数人之创造力发挥到最高峰。

”教师要以自己真诚的情感与学生交流．当一个学生能完成某项任务时，他就会感到自己有能力，能胜任，感到自尊、自信．会激起他要做得更多更好的愿望．因此，教师要尊重每一个学生，保护每一个学生的独创精神，哪怕是微不足道的见解，教师也要给予充分肯定。

培养学生的思维能力和创造能力，加强学生的实践能力使学生更好地发展自我，让课堂教学更符合新课程要求。

三、教学问题诊断分析

从学生知识层面看：

通过前几节的学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。

了解了现实世界和日常生活中的不等关系以及不等式（组）的实际背景，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题。

但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。

在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式

使用的前提条件

，同时又要注意区别基本不等式

的使用条件为

。

因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。

而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

四、教学支持条件分析

我校硬件设施齐全，条件基础良好，在教学中能充分发挥多媒体技术的优势，因此所设计方案具有可行性并达到预期的教学效果。

为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，以及展示基本不等式的又一几何背景，并用电脑3D技术加深对基本不等式的理解，加深对教材例题的认识，增强教学效果。

五、教学重点及难点

教学重点：

基本不等式的证明及实际问题中的应用

教学难点：

等号成立的条件

六、教学过程设计

一、情景引入

评价

在我国，数学教育发展到现今，取得的成绩有目共睹，但在教学中发现了两个令人深感忧虑的现象：

一是学生对待数学的态度，大多很悲观，缺乏自信；二是传统的数学教学形式使得教师在课堂上讲授的知识偏重于演绎论证的训练，忽视了知识的产生过程。

数学作为一种高度抽象化与形式化的逻辑性学科，容易使人忽略数学知识的发生与发展过程．数学的魅力被局限在数理表面，学生极少感受到数学思想、数学历史以及数学文化观．我国普通高中数学教学课程标准已正式将数学史纳入了高中数学教学体系，肯定了数学史参与数学教学的重要意义。

数学史与高中数学整合，应实现其隐性教育因素与显性数学概念的统一，促进教学形式的立体化。

数学是好玩的，在北京举行国际数学家大会期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。

数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。

在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。

玩七巧板，玩九连环，玩华容道，不少人玩起来乐而不倦，玩的人不一定知道，所玩的其实是数学。

数学的好玩之处，并不限于数学游戏。

数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。

重视数学文化，关注数学历史，树立正确的数学观是高中数学课程的基本理念之一。

评

价

1、通过引导，让学生主动地解决定理的证明，并形成猜想证明的严谨思维。

2、通过提问进一步加深对基本不等式的理解，明确不等式成立的条件

《标准》在高中数学课程的总体目标下提出“提高数学地提出，分析和解决问的能力，提高数学表达和交流的能力，发展获取知识的能力’数学给予人们的不只是知识，更重要的是能力。

培养创造型人才的最重要的就是培养创造思维能力．对中学生来说，数学学习上的创造性主要指学生对人类已知的数学知识的“再发现努，“再创造"或群创造性"的运用，其实质是学生在数学活动中表现出的创造性思维品质，思维能力的核心是提出数学问题，学生只有大胆猜想和探索，才能更有效提出常规性数学闷题和非常规性数学问题，尤其是探索性问题，发展学生数学思维能力是指解决数学问题与应用数学的能力，引导学生学做，学用，扩大学习空间，发展实践能力和创新精神，强化学生数学思维能力是指提高表达与交流数学问题的能力。

评

价

已知正数a和b，古希腊数学家已经研究过十种不同的中项，包括算术中项、几何中项、调和中项、反调和中项等。

这些中项之间的大小关系叫均值不等式。

课本所说的均值不等式只限于算术中项和几何中项之间的大小关系，即

均值不等式有着悠久的历史，证明方法很多，用不同的视角，都能得到同样的结果。

（1）恒等式法:

由

是证明均值不等式常用的方法。

（2）公元6世纪数学家欧多修斯（Eutocius）在证明阿基米德的有关不等式时，采用了比例的方法。

该方法可用来证明均值不等式。

（3）公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯（Pappus）在其《数学汇编》中给出图

数学教育心理学的知识告诉我们，把握一个概念，通常要经历由过程入门，然后转变为对象的认知过程，概念只有步入对象状态后，才呈现出一种静态的结构关系，易于整体把握性质，只有这时，一个概念才形成。

但由于形成概念的过程中步骤的前后次序以及每一步中包含不少细节，思维要把握的要素呈序列动态，就不易全面把握，较难抓住要害和实质（2001李士镝《数学教育心理》）。

学生在学习均值等式这一知识点的过程中，首先接触到的是该不等式的表面形式，对于这种表面形式，虽然能够写出正确证明过程的学生不在少数，但是他们的证明方法比较单一，绝大部分学生采用的是作差法，能够用三种方法证明的学生只占少数，而且都是代数的方法，对于几何方法的证明无人提及，另外，在学生的证明过程中，只有极少的学生能够考虑到说明等号成立的条件。

其主要原因是，教师在平时的教学过程中，对均值不等式的证明不够重视，有很多教师授课时只采用一种方法证明，几何图形方面提及更少甚至不提及。

学生数与形相结合的能力本身就有所欠缺，学生不能从几何的角度收集信息来证明一个代数的不等式，很多学生都把数看成是数，形看成是形，数和形之间是分裂的，不了解数形结合是数学中非常重要的一种思想方法，加上教师的提及不够，造成学生利用几何图形证明均值不等式基本就是一个空白。

这样的一个代数不等式可以找到它的几何解释，从面把代数和几何有机的结合在一起．通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生的数形的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生的理解一进步加深。

评

价

绝大多数教师认为课程内容在一定程度上反映社会进步和科技发展，但在以前的旧教对不等式的证明内容偏多，偏难，与学生生活经验脱节的问题依然十分严重。

均值不等式的知识出现在高一年级，高中阶段思维方式向理性层次过渡，与初中阶段相比要求大大提高。

初中数学教学中注重的是解题方法的锻炼，高中则注重解题思维的锻炼。

初中生习惯于机械的、封闭的、便于操作的思维定势，科学、严谨、流畅的思维品质尚未完全开发，而高巾数学知识要求在思维形式上产生变化，在灵活性、可拓展性、创造性方面提出了更高的要求。

学生还没有来得及从初中的教法和学法上转变过来，而高一教材第一章抽象的集合语言，不函数等等就接踵而至，大多数学生就只能停留在知识的表面而很难深入到知识的本质，如果调节的不好，必然会影响到高二、高三的学习。

少部分基础和素质比较好的学生能够迅速的接受新的学习方式，很好的完成初中到高中的转变，对知识的理解也容易深入。

教师在平时的教学工作中，最主要的依赖材料就是我们的教材，虽然也会有辅助材料，但是教材仍是教学的指挥棒。

教材注重的是知识点的理论性和严谨性，而在旧教材在应用题的数量和素材种类上都有所欠缺，对知识点深层次的本质内容强调的不够，这就容易使教师的教和学生的学缺乏扎实的土壤。

华罗庚曾经说过：

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无一‘不用数学。

”说明数学与日常生活是密不可分的，数学在日常生活中有广泛的应用，这是数学的价值所在。

均值不等式的知谚{也出现在日常生活的方方面面，特别是解决一些最优化问题，该不等式是一个很有力的数学工具。

任何一个数学知识点的学习，最终都是为了更好的应用，均值不等式也不例外。

学生对知识点应用的水平直接体现了对知识点的掌握程度。

公式化的思想有利于培养严谨的思维方式．尽管大多数学生将来不会成为数学家，但是条理性，逻辑性作为一种文化素质对他们将来从事任何一种职业都是必须的．均值不等式就是一种公式的使用．并且在使用的过程中始终强调的是一种问题的解决，在这样的意义上，数学常常被称为解决问题的艺术，它有利予培养科学的审美观．发展数学应用意识，高中中数学课程改革势在必行。

七、目标检测设计

本练习题引用选修2-21.4的例题以便在学生以后学生了导数以后，更能体会均值不等式在求函数最值中承前启后的作用，并能在以后的学习中进一步加深对等号成立条件的理解。

评

价

让学生注意定理的应用条件，培养严谨的数学思维.正确理解均值定理应用的条件“正、定、等”。

布置作业

课本P100习题3.4第1.2.3.4题

巩固知识

课后反思

本节课需要认真体会新教材的意图，要在实际应用中逐步培养学生用已知知识解决问题的能力，并且自我探索，归纳出使用均值不等式求解最值的两种基本方法，并会创造条件使用已知知识。