高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第2课时基本不等式学案.docx

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第2课时基本不等式学案.docx

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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第2课时基本不等式学案

第2课时　基本不等式

学习目标

　1.理解并掌握重要不等式（定理1）和基本不等式（定理2）.2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式（定理2）解决某些实际问题．

知识点　基本不等式

思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．

答案　a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，即a2＋b2≥2ab，

当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.

梳理　

（1）重要不等式

定理1：

如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

（2）基本不等式

①定理2：

如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.

②定理2的应用：

对两个正实数x，y，

（ⅰ）如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；

（ⅱ）如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值.

类型一　不等式的证明

例1　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.

求证：

＋＋≥9.

证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

∴＋＋＝＋＋

＝3＋＋＋＋＋＋

＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

∴＋＋≥9.

方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

∴＋＋＝（a＋b＋c）

＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1

＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

∴＋＋≥9.

引申探究

1．若本例条件不变，求证：

＋＋≥1.

证明　∵a2＋b2≥2ab，

∴≥2a－b.

同理，≥2b－c，≥2c－a.

∴＋＋

≥（2a－b）＋（2b－c）＋（2c－a）＝a＋b＋c＝1，

∴＋＋≥1.

2．若本例条件不变，求证：

＋＋≥.

证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2.

又a，b，c∈R＋，

∴≥|a＋b|＝（a＋b）．

同理，≥（b＋c），≥（a＋c）．

三式相加，得

＋＋≥（a＋b＋c）＝，

当且仅当a＝b＝c时取等号．

反思与感悟　用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．

跟踪训练1　

（1）已知a，b，c，d∈R＋，求证：

（ab＋cd）·（ac＋bd）≥4abcd；

（2）已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：

≥9.

证明　

（1）∵a，b，c，d，∈R＋，

∴ab＋cd≥2，ac＋bd≥2，

∴（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.

当且仅当a＝d且b＝c时取等号．

（2）

＝

＝

＝4＋2＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．

∴≥9.

类型二　利用基本不等式求最值

例2　

（1）设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；

（2）若x＜0，求f（x）＝＋3x的最大值．

解　

（1）＋＝×1＝（2x＋y）＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，

∴＋的最小值是8.

（2）∵x＜0，∴－x＞0,故f（x）＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f（x）的最大值是－12.

反思与感悟　在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行

（1）首先看式子能否出现和（或积）的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．

（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正．

（3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．

跟踪训练2　若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（　　）

A.B．2C．2D．4

答案　C

解析　因为＋＝，所以a＞0，b＞0，

因为＝＋≥2＝2，

所以ab≥2（当且仅当b＝2a时取等号），所以ab的最小值为2.

类型三　利用基本不等式解决实际应用问题

例3　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x（万件）与年促销费用t（万元）之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

（1）将2019年的利润y（万元）表示为促销费用t（万元）的函数；

（2）该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

解　

（1）由题意可设3－x＝（k≠0），

将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.

当年生产x万件时，

∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.

当销售x（万件）时，

年销售收入为150%＋t.

由题意，生产x万件化妆品正好销售完，

由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用，

得年利润y＝（t≥0）．

（2）y＝＝50－

≤50－2＝50－2＝42，

当且仅当＝，

即当t＝7时，等号成立，ymax＝42，

∴当促销费用定在7万元时，年利润最大．

反思与感悟　利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f（x）（x一般为题目中最后所要求的量）；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．

跟踪训练3　围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：

m），总费用为y（单位：

元）．

（1）将y表示为x的函数；

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解　

（1）如题图所示，设矩形的另一边长为am.

则y＝45x＋180（x－2）＋180×2a＝225x＋360a－360.

由已知xa＝360，得a＝，

∴y＝225x＋－360（x＞2）．

（2）∵x＞2，

∴225x＋≥2＝2＝10800.

∴y＝225x＋－360≥10440，

当且仅当225x＝，即当x＝24时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

1．下列不等式中，正确的个数是（　　）

①若a，b∈R，则≥；

②若x∈R，则x2＋2＋＞2；

③若x∈R，则x2＋1＋≥2；

④若a，b∈R＋，则≥.

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　显然①不正确；③正确；

对②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.

2．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　C

解析　∵a＋b＝2×＝1，a＞0，b＞0，

∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋≥1＋＝5，

当且仅当a＝b＝时取“＝”号．

3．下列不等式的证明过程正确的是（　　）

A．若a，b∈R，则＋≥2＝2

B．若x＞0，则cosx＋≥2＝2

C．若x＜0，则x＋≤2＝4

D．若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－≤－2＝－2

答案　D

解析　对于A，a，b必须同号；

对于B，cosx不一定大于0；对于C，由x＜0，

得x＋＝－

≤－2＝－4.

对于D，由ab＜0，得＜0，＜0，

所以＋＝－≤－2＝－2.

4．当x＞1时，函数y＝x＋的最小值是________．

答案　3

解析　因为x＞1，所以y＝x＋＝（x－1）＋＋1≥2＋1＝3，

当且仅当x－1＝，

且x＞1，即x＝2时等号成立．故函数的最小值为3.

5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.求证：

a2＋b2≥.

证明　∵a2＋b2≥2ab，

∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，

∴a2＋b2≥，

当且仅当a＝b＝时，等号成立．

1．对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．

（1）ab≤2≤.

（2）≤≤（a，b∈R＋）．

（3）＋≥2（a，b同号）．

（4）（a＋b）≥4（a，b∈R＋）．

（5）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．

一、选择题

1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为（　　）

A．8B．4C．1D.

答案　B

解析　∵是3a与3b的等比中项，

∴3a·3b＝3a＋b＝3，∴a＋b＝1.

∴＋＝（a＋b）＝2＋＋≥4.

当且仅当a＝b＝时，等号成立．

2．若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（　　）

A．6＋2B．7＋2

C．6＋4D．7＋4

答案　D

解析　由题意得所以

又log4（3a＋4b）＝log2，所以log4（3a＋4b）＝log4ab，

所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.

所以a＋b＝（a＋b）＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．故选D.

3．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值为（　　）

A．2B．2C．4D．5

答案　C

解析　∵a＞0，b＞0，

∴＋＋2≥＋2≥2＝4，

当且仅当a＝b时，等号成立．

4．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则p的取值范围为（　　）

A．（－∞，－9）B．（－9,9]

C．（－∞，9]D．[9，＋∞）

答案　D

解析　要使＋≥16恒成立，必有p＞0.

又∵＋＝·（sin2x＋cos2x）

＝1＋p＋＋

≥1＋p＋2＝（＋1）2，当且仅当sin2x＝cos2x时，等号成立．

∴（＋1）2≥16，即＋1≥4，

∴≥3，∴p≥9.

5．下列说法中，正确的个数是（　　）

①函数y＝x＋的最小值是2；

②函数y＝cosx＋的最小值为6；

③若正数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为.

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　当x＞0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，当x＜0时，－y＝（－x）＋≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，所以y≤－2，所以①错误；由x∈，得cosx∈（0,1），所以y＝cosx＋＞10，所以②错误；由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，所以③正确．

6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　）

A．5千米处B．4千米处

C．3千米处D．2千米处

答案　A

解析　由已知y1＝，y2＝0.8x（x为仓库到车站的距离）．

费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.

当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．

二、填空题

7．若a＞0，b＞0，a＋b＝1，则的最小值是________．

答案　9

解析　因为＝·

＝·

＝

＝＝1＋.

由a＞0，b＞0，a＋b＝1，得ab≤2＝，

所以≥4，所以≥9，

当a＝b＝时取等号．

8．已知x＞0，y＞0且满足x＋y＝6，则使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围为________．

答案　

解析　因为x＞0，y＞0，＋＝×

＝≥×（10＋6）＝.

当且仅当＝时等号成立，又x＋y＝6，x＞0，y＞0，

得x＝，y＝.

所以m的取值范围是.

9．已知x，y∈（0，＋∞），2x－3＝y，则＋的最小值为________．

答案　3

解析　∵2x－3＝y，∴x－3＝－y，即x＋y＝3.

故＋＝（x＋y）·＝＋＋≥＋2＝＋＝3

.

10．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．

答案　[9，＋∞）

解析　令＝t（t＞0），由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，所以t≥3或t≤－1（舍去），所以≥3，ab≥9，当a＝b＝3时取等号．

11．函数y＝（x≥0）的最小值为________．

答案　7

解析　y＝＝

＝（x＋2）＋＋1≥2＋1＝7.

当且仅当x＋2＝，即x＝1时取等号．

∴当x＝1时，ymin＝7.

三、解答题

12．

（1）已知正数a，b满足a＋4b＝4，求＋的最小值；

（2）求函数y＝的最大值．

解　

（1）因为a＞0，b＞0，且a＋4b＝4，

所以＋＝（a＋4b）＝≥＝，

当且仅当a＝，b＝时取等号，

所以＋的最小值为.

（2）令t＝（t≥），

则f（t）＝＝≤＝，

当且仅当t＝2，即x＝±时，取等号．

故y＝的最大值为.

13．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3m，AD＝2m.

（1）要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长应在什么范围内？

（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？

并求最小面积；

（3）若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？

并求出最小面积．

解　

（1）设AN＝xm（x＞2），则ND＝（x－2）m.

∵＝，∴＝，∴AM＝，

∴·x＞32，∴3x2－32x＋64＞0，

∴（3x－8）（x－8）＞0，∴2＜x＜或x＞8.

∴AN的长的范围为∪（8，＋∞）．

（2）由

（1）知，S矩形AMPN＝＝

＝3（x－2）＋＋12≥2＋12＝24.

当且仅当x＝4时取等号．

∴当AN的长度为4m时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24m2.

（3）由

（2）得S矩形AMPN＝3（x－2）＋＋12（x≥6），

令x－2＝t（t≥4），

则S矩形AMPN＝3t＋＋12（t≥4）．

设f（t）＝3t＋＋12（t≥4），

则f′（t）＝3－，当t≥4时，f′（t）＞0，

∴函数f（t）在[4，＋∞）上单调递增，

∴f（t）min＝f（4）＝27，此时x＝6.

∴若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是6m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27m2.

四、探究与拓展

14．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.

求证：

（1）＋＋≤；

（2）＋＋＜6.

证明　

（1）∵≥，∴2≤a＋b.

同理2≤a＋c,2≤b＋c，且当a＝b＝c时，等号同时成立．

∴（＋＋）2＝a＋b＋c＋2＋2＋2

≤a＋b＋c＋（a＋b）＋（a＋c）＋（b＋c）＝3（a＋b＋c）＝3，

∴＋＋≤，当a＝b＝c时等号成立．

（2）∵＝≤，且由于3a＋2≠1，

∴等号不成立，∴＜.

同理＜，＜，

∴＋＋＜[3（a＋b＋c）＋9]＝6.

15．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.

解　因为x＋y＝（x＋y）

＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2，

当且仅当＝时取等号．

又（x＋y）min＝（＋）2＝18，

即a＋b＋2＝18.①

又a＋b＝10，②

由①②可得或

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

精美句子

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读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

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幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

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从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

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鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

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山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

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幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。