1、即9.法二:(abc)()1119.用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明1已知a,b,c,d都是正数,求证:(abcd)(acbd)4abcd.证明:因为a,b,c,d都是正数,所以0,0,所以abcd,即(abcd)(acbd)4abcd.当且仅当abcd,acbd,即ad,bc时,等号成立2已知a,b,c0,求证:abc.a,b,c,均大于0,又b22a,c22b.a22c.(b)(c)(a)2(abc)即abc.当且仅当b,c,a,即abc时取等号.利用基本不等式求最值例2(1)求当x0
2、时,f(x)的值域;(2)设0x0,y0,且1,求xy的最小值思路点拨根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件,求最值解(1)x0,f(x).x2,0.0f(x)1,当且仅当x1时取“”即f(x)值域为(0,1(2)00.y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x,即x时,等号成立y4x(32x)的最大值为.(3)x0,1,xy(xy)1061016.当且仅当,又1,即x4,y12时,上式取等号故当x4,y12时,有(xy)min16.在应用基本不等式求最值时, 分以下三步进行:(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;(2)其次,
3、看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(1)变为同正;(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数单调性或导数解决3已知x0,则2x的最小值和取得最小值时的x值分别是()A8,2 B8,4C16,2 D16,4解析:2x28,当且仅当2x,即x2时,取“”号,故选A.答案:A4设x,yR,且满足x4y40,则lgxlgy的最大值是()A40 B10C4 D2x,yR,.10.xy100.lg xlg ylg(xy)lg 1002.D5(浙江高考)若正数x,y满足x3y5xy,则3x4y的最小值是()A. BC5 D6x3y5xy,5,
4、x0,(3x4y)9421325,5(3x4y)25,3x4y5,当且仅当x2y时取等号3x4y的最小值是5.C利用基本不等式解决实际问题例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2014年的利润
5、y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?思路点拨(1)两个基本关系式是解答关键,即利润销售收入生产成本促销费;生产成本固定费用生产费用;(2)表示出题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数表达式解(1)由题意可设3x,将t0,x1代入,得k2.x3.当年生产x万件时,年生产成本年生产费用固定费用,年生产成本为32x3323.当销售x万件时,年销售收入为150%t.由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润年销售收入年生产成本促销费,得年利润y(t0)(2)y5050250242,当且仅当,即t7时,等号成立,ymax4
6、2,当促销费定在7万元时,年利润最大利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的最值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量);最后,利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约6一商店经销某种货物,根据销售情况,年进货量为5万件,分若干次等量进货(设每次进货x件),每进一次货运费50元,且在销售完该货物时,立即进货,现以年平均件货储存在仓库里,库存费以每件20元计算,要使一年的运费和库存费最省,每次进货量x应是多少?解:设一年的运费和库存费共y元,由题意知:y502010x210
7、4,当且仅当10x即x500时,ymin10 000,即每次进货500件时,一年的运费和库存费最省7.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用(1)如题图所示,设矩形的另一边长为a m.则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360,得a,所以y225x360(x
8、0)(2)x0,225x210 800.y225x36010 440,当且仅当225 x时,等号成立即当x24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元 对应学生用书P71下列不等式中,正确的个数是()若a,bR,则若xR,则x222若xR,则x212若a,b为正实数,则A0 B1C2 D3显然不正确;正确;对虽然x22无解,但x222成立,故正确;不正确,如a1,b4.2已知a0,b0,a,b的等差中项是,且a,b,则的最小值是()A3 B4ab21,aab115,当且仅当ab时取“”号3. “a1”是“对任意正数x,2x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
9、D既不充分又不必要条件当a1时,2x2x2 (当且仅当x时取等号),所以a12x1(x0),反过来,对任意正数x,如当a2时,2x1恒成立,所以2x1/a1.4某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处由已知:y1,y20.8x(x为仓库到车站的距离)费用之和yy1y20.8x28.当且仅当0.8x,即x5时等号成立5若x0,则f(x)23x2的最大值是_,取
10、得最值时x的值是_f(x)23(x2)23410,当且仅当x2即x时取等号106当x时,函数yx的最小值为_因为x,所以x0,所以yx4,当且仅当x,即x时,取“”7y(x0)的最小值是_0,yx1121.当且仅当x1时取等号218已知a0,b0,ab1,求证:(1)8;(2) 9.(1)ab1,a0,b0,224448(当且仅当ab时,等号成立),8.(2)1,由(1)知8.9.9设x0且xy4,要使不等式m恒成立,求实数m 的取值范围由x0且xy4.得1,.当且仅当时等号成立即y2x(x0,y2x舍去)此时,结合xy4,解得x,y.的最小值为.m.m的取值范围为.10某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计?(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x4 000,得a.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a16
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