即f(x)值域为(0,1].
(2)∵00.
∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]
≤22=.
当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.
∴y=4x(3-2x)的最大值为.
(3)∵x>0,y>0,+=1,
∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16.
当且仅当=,又+=1,
即x=4,y=12时,上式取等号.
故当x=4,y=12时,
有(x+y)min=16.
在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行:
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;
(2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(-1)变为同正;
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.
3.已知x>0,则2x+的最小值和取得最小值时的x值分别是( )
A.8,2B.8,4
C.16,2D.16,4
解析:
2x+≥2=8,当且仅当2x=,即x=2时,取“=”号,故选A.
答案:
A
4.设x,y∈R+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是( )
A.40B.10
C.4D.2
解析:
∵x,y∈R+,∴≤.
∴≤=10.∴xy≤100.
∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.
答案:
D
5.(浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B.
C.5D.6
解析:
∵x+3y=5xy,∴+=5,
∵x>0,y>0,∴(3x+4y)=++9+4≥2+13=25,∴5(3x+4y)≥25,
∴3x+4y≥5,当且仅当x=2y时取等号.
∴3x+4y的最小值是5.
答案:
C
利用基本不等式解决实际问题
[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.
(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
[思路点拨]
(1)两个基本关系式是解答关键,即利润=销售收入-生产成本-促销费;生产成本=固定费用+生产费用;
(2)表示出题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数表达式.
[解]
(1)由题意可设
3-x=,
将t=0,x=1代入,得k=2.
∴x=3-.
当年生产x万件时,
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为32x+3=32+3.
当销售x万件时,
年销售收入为150%+t.
由题意,生产x万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
得年利润y=(t≥0).
(2)y==50-
≤50-2=50-2=42,
当且仅当=,即t=7时,等号成立,ymax=42,
∴当促销费定在7万元时,年利润最大.
利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的最值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x)(x一般为题目中最后所要求的量);最后,利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约.
6.一商店经销某种货物,根据销售情况,年进货量为5万件,分若干次等量进货(设每次进货x件),每进一次货运费50元,且在销售完该货物时,立即进货,现以年平均件货储存在仓库里,库存费以每件20元计算,要使一年的运费和库存费最省,每次进货量x应是多少?
解:
设一年的运费和库存费共y元,
由题意知:
y=×50+×20=+10x≥2=104,
当且仅当=10x即x=500时,ymin=10000,
即每次进货500件时,一年的运费和库存费最省.
7.围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:
元).
(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
解:
(1)如题图所示,设矩形的另一边长为am.
则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360.
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+-360(x>0).
(2)∵x>0,
∴225x+≥2=10800.
∴y=225x+-360≥10440,
当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
对应学生用书P7
1.下列不等式中,正确的个数是( )
①若a,b∈R,则≥
②若x∈R,则x2+2+≥2
③若x∈R,则x2+1+≥2
④若a,b为正实数,则≥
A.0 B.1
C.2D.3
解析:
显然①不正确;③正确;对②虽然x2+2=无解,但x2+2+>2成立,故②正确;
④不正确,如a=1,b=4.
答案:
C
2.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是( )
A.3B.4
C.5D.6
解析:
∵a+b=2×=1,a>0,b>0,
∴α+β=a++b+
=1+≥1+=5,
当且仅当a=b=时取“=”号.
答案:
C
3.“a=1”是“对任意正数x,2x+≥1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析:
当a=1时,2x+=2x+≥2(当且仅当x=时取等号),所以a=1⇒2x+≥1(x>0),反过来,对任意正数x,如当a=2时,2x+≥1恒成立,所以2x+≥1⇒/ a=1.
答案:
A
4.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )
A.5千米处B.4千米处
C.3千米处D.2千米处
解析:
由已知:
y1=,
y2=0.8x(x为仓库到车站的距离).
费用之和y=y1+y2=0.8x+
≥2=8.
当且仅当0.8x=,
即x=5时等号成立.
答案:
A
5.若x≠0,则f(x)=2-3x2-的最大值是________,取得最值时x的值是________.
解析:
f(x)=2-3(x2+)≤2-3×4=-10,
当且仅当x2=即x=±时取等号.
答案:
-10 ±
6.当x>时,函数y=x+的最小值为________.
解析:
因为x>,所以x->0,
所以y=x+=++≥4+=,
当且仅当x-=,即x=时,取“=”.
答案:
7.y=(x>0)的最小值是________.
解析:
∵x>0,∴y==+x+1-1≥2-1.
当且仅当x+1=时取等号.
答案:
2-1
8.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)≥9.
证明:
(1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴++=++
=2
=2
=2+4
≥4+4=8(当且仅当a=b=时,等号成立),
∴++≥8.
(2)∵=+++1,
由
(1)知++≥8.
∴≥9.
9.设x>0,y>0且x+y=4,要使不等式+≥m恒成立,求实数m的取值范围.
解:
由x>0,y>0且x+y=4.
得=1,
∴+=·
=
=
≥=.
当且仅当=时等号成立.
即y=2x(∵x>0,y>0,∴y=-2x舍去).
此时,结合x+y=4,
解得x=,y=.
∴+的最小值为.
∴m≤.
∴m的取值范围为.
10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计?
解:
(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x=4000,得a=.
则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20