考点14 利用导数解决综合问题版典型高考数学试题解读与变式解析版Word文档格式.docx
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，且.令，..当时，，单调递增，故，因此当时，恒成立.因为，所以恒成立.因此，在上单调递增，的最小值为.故本题正确答案为D.
【变式2】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求解不等式】【2018江西南昌二轮复习测试】已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【变式3】【改编例题条件，利用构造函数思想比较大小】【2018河北石家庄二模】已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【变式4】【改编例题条件，构造函数解决恒成立问题】【2018安徽蚌埠二中高三7月月考（文）】已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为（）
A.0B.C.D.
【解析】令，依题意，对任意，当时，图象在直线下方，∴列表
得的大致图象
则当时，∵，∴当时不成立；
当时，设与相切于点.
则，解得.
∴，故成立，∴当时,.故选B.
（二）方程解（函数零点）的个数问题
例2.【2015全国1卷（理）】已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
【答案】
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当或时，由一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，有三个零点.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；
（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.
试题解析：
（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.
因此，当时，轴是曲线的切线.
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，则，,故=1是的零点；
若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；
当0时，在（0，1）无零点.
（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；
当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；
【方法技巧归纳】1.确定零点的个数问题：
可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.
2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.
3.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；
或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
【变式1】【改编例题的条件，依据函数零点个数求参数的取值】【江西省赣州市2018年高三（5月）适应性考试】已知函数（）.
（1）若，证明：
函数有且只有一个零点；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
（2）解：
由
（1）知：
当时，函数在上最多有一个零点，
由（），得，令
分离参数法得
记
的图像如图所示，
故当，
当，
所以
又，，
故实数的取值范围是.
【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2015天津卷（理）】已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：
对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
（Ⅰ）当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；
当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析.
（Ⅰ）由，可得，其中且，
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时：
令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：
所以，在，上单调递减，在内单调递增.
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：
设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
【变式3】【改编例题的条件和结论，函数零点与充要条件综合】【2016北京卷（文）】设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）求证：
是有三个不同零点的必要而不充分条件.
（Ⅰ）;
（Ⅱ）;
（Ⅲ）见解析.
试题分析：
（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程；
（Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.
（Ⅱ）当时，，
所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（Ⅲ）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
（三）函数中的隐零点问题
例3.【2017全国1卷（理）】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
（1）由于，
故.
当时，，．从而恒成立．
在上单调递减.
当时，令，从而，得．
极小值
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由
（1）知，
当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．
当时，．
令．
令，则．从而在上单调增，而．
当时，．当时．当时
若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．
若，则，故仅有一个实根，不满足条件．
若，则，注意到．．
故在上有一个实根，而又．
且
．故在上有一个实根．
又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．
又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．
综上，．
【方法技巧归纳】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；
第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
【变式1】【改编例题的条件，根据零点个数不同，确定参数取值范围】【2018山西孝义高三入学摸底考试】已知函数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知函数，若，且函数在区间内有零点，求的取值范围.
（1）见解析
（2）
（1）先求导数：
，再根据导函数符号是否变化分类讨论：
当时，，当时，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）先求函数导数，因为，结合
（1）结论得：
，因此，，,由于，所以恒成立，解，得的取值范围.
（2），，
设为在区间内的一个零点，则由，可知在区间上不单调，则在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内至少有两个零点.
由
（1）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意，所以，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因此，，，必有，.
由，得，.
又，，解得.
（4）极值点偏移问题
例4.【2016全国1卷（理）】已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：
.
（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；
（Ⅱ）借助（Ⅰ）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．
（Ⅰ）．
（Ⅰ）设，则，只有一个零点．
（Ⅱ）设，则当时，；
当时，．所以在单调递减，在单调递增．
又，，取满足且，则
，
故存在两个零点．
（Ⅲ）设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；
当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
综上，的取值范围为．
【方法技巧归纳】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：
互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
【变式1】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明参数的大小】【2018广东深圳高三入学摸底考试（文）】已知函数.
（1）求函数的极小值；
（2）若函数有两个零点，求证：
（1）极小值为
（2）见解析
（1）先求函数导数.再根据导函数是否变号进行分类讨论：
当时，导函数不变号，无极小值；
当时，导函数先负后正，有一个极小值
（2）先用分析法转化要证不等式：
因为.令，所以只要证，即证，利用导数易得为增函数，即得所以原命题成立
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