考点14 利用导数解决综合问题版典型高考数学试题解读与变式解析版Word文档格式.docx

1、，且.令，.当 时，单调递增，故，因此当时，恒成立.因为，所以恒成立.因此，在 上单调递增，的最小值为.故本题正确答案为D. 【变式2】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求解不等式】【2018江西南昌二轮复习测试】已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为（ ）A B C D 【答案】B【变式3】【改编例题条件，利用构造函数思想比较大小】【2018河北石家庄二模】已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】【变式4】【改编例题条件，构造函数解决恒成立问题】【2018安徽蚌埠二中高三7月月考（

2、文）】已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为（ ）A. 0 B. C. D. 【解析】令，依题意，对任意，当时，图象在直线下方，列表得的大致图象则当时，当时不成立；当时，设与相切于点.则，解得.，故成立，当时,.故选B.（二）方程解（函数零点）的个数问题例2.【2015全国1卷（理）】已知函数，（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究的

3、零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.（）当时，从而，在（1，+）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.（）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.（）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.若0，即0，在（0,1）无零点.若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1

4、）有一个零点.10分综上，当或时，由一个零点；【方法技巧归纳】1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.3. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题【变式1】【改编例题的条件，依据函数零点个数求参数的取值】【江西省赣州市2018年高三（5月）适应性考试】已

5、知函数（）.（1）若，证明：函数有且只有一个零点；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.（2）解：由（1）知：当时，函数在上最多有一个零点，由（），得，令分离参数法得记 的图像如图所示，故当，当，所以又，故实数的取值范围是.【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2015天津卷（理）】已知函数，其中.（）讨论的单调性；（）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；（）若关于的方程有两个正实根，求证：（） 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. （）见解析； （）见解析.（）由，可得，其中

6、且，下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在内单调递增.（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.（）证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，当时，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.【变式3】【改编例题的条件和结论，函数零点与充要条件综合】【2016北京卷（文）】设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（）求证：是有三

7、个不同零点的必要而不充分条件.（）;（）;（）见解析.试题分析：（）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程；（）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；（）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.（）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点（）当时，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时，只有一个零点，记作当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点综上所述，若函数有三个不同零点，则必有故是有三个不同零点的必要条件当，时，只有

8、两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件（三）函数中的隐零点问题例3.【2017全国1卷（理）】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.（1）由于，故.当时，从而恒成立在上单调递减.当时，令，从而，得极小值 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件当时，令令，则从而在上单调增，而当时，当时当时若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件若，则，故仅有一个实根，不满足条件若，则，注意到故在上有一个实根，而又且故在上有一个实根又在上单调减，在单调增

9、，故在上至多两个实根又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根综上，【方法技巧归纳】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.【变式1】【改编例题的条件，根据零点个数不同，确定参数取值范围】【2018山西孝义高三入学摸底考试】已知函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）

10、已知函数，若，且函数在区间内有零点，求的取值范围.（1）见解析（2）（1）先求导数：，再根据导函数符号是否变化分类讨论：当时，当时，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）先求函数导数，因为，结合（1）结论得：，因此，,由于，所以恒成立，解，得的取值范围. （2），设为在区间内的一个零点，则由，可知在区间上不单调，则在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内至少有两个零点.由（1）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意，所以，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增.因此，必有，.由，得，.又，解得.（4）极

11、值点偏移问题例4.【2016全国1卷（理）】已知函数有两个零点.（）求a的取值范围；（）设x1，x2是的两个零点，证明：.（）见解析【解析】 （）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（）借助（）的结论来证明，由单调性可知等价于，即设，则则当时，而，故当时，从而，故（）（）设，则，只有一个零点（）设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点（）设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为【方法技巧归纳】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.【变式1】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明参数的大小】【2018广东深圳高三入学摸底考试（文）】已知函数.（1）求函数的极小值；（2）若函数有两个零点，求证：（1）极小值为（2）见解析（1）先求函数导数.再根据导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，无极小值；当时，导函数先负后正，有一个极小值（2）先用分析法转化要证不等式：因为. 令，所以只要证，即证，利用导数易得为增函数，即得所以原命题成立