数学分析选讲参考答案.docx

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数学分析选讲参考答案

《数学分析选讲》A/B模拟练习题参考答案

1、选择题：

（共18题，每题3分）

1、下列命题中正确的是（AB）

A、若，则是的不定积分，其中为任意常数

B、若在上无界，则在上不可积

C、若在上有界，则在上可积

D、若在上可积，则在上可积

2、设，则当时，有（B）

A．与是等价无穷小

B．与同阶但非是等价无穷小

C．是比高阶的无穷小

D．是比低阶的无穷小

3、若为连续奇函数,则为（A）

A、奇函数B、偶函数

C、非负偶函数D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.

4、函数在上连续是在上可积的（A）条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要条件D.非充分也非必要条件.

5、若为连续奇函数,则为（B）

A、奇函数B、偶函数

C、非负偶函数D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.

6、设则是的（B）

A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点

7、设,当时,恒有,已知,.则正确的选项是（A）

A、B、C、D、A和B的大小关系不定.

8、函数f（x,y）在点连续是它在该点偏导数都存在的（A）

A.既非充分也非必要条件B充分条件

C.必要条件D.充要条件

9、极限（D）

A、B、C、D、不存在.

10、部分和数列有界是正项级数收敛的（C）条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.非充分非必要

11、极限（A）

A、B、C、D、不存在.

12、与的定义等价的是（BD）

A、总有

B、至多只有的有限项落在之外

C、存在自然数N，对当，有

D、存在自然数N，对有

13、曲线（D）

A、没有渐近线B、仅有水平渐近线

C、仅有垂直渐近线D、既有水平渐近线,也有垂直渐近线

14、下列命题中，错误的是（AD）

A、若在点连续，则在既是右连续，又是左连续

B、若对在上连续，则在上连续

C、若是初等函数，其定义域为，，则

D、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在且相等

15、设为单调数列，若存在一收敛子列，这时有（A）

A、　

B、不一定收敛　　

C、不一定有界

D、当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A成立

16、设在R上为一连续函数，则有（C）

A、当为开区间时必为开区间　

B、当为闭区间时必为闭区间

C、当为开区间时必为开区间　

D、以上A,B,C都不一定成立

17、下列命题中错误的是（ＡＣ）

A、若，级数收敛，则收敛；

B、若，级数收敛，则不一定收敛；

C、若是正项级数，且有则收敛；

D、若，则发散

18、设为一正项级数，这时有（D）

A、若,则收敛　　　

B、若收敛，则

C、若收敛，则　

D、以上A,B,C都不一定成立

2、填空题：

（共15题，每题2分）

1、设，则2或-2

2、=

3、=

4、=2

5、设收敛，则=10

6、=

7、2

8、8

9、设，则

10、设，则

11、幂级数的收敛半径为1

12、积分的值为0

13、曲线与轴所围成部分的面积为36

14、

15、=0

三、计算题：

（共15题，每题8分）

1、求.

解：

=

2、将展开成的幂级数，并指出其收敛域。

解：

==

且由知

3、求

解：

原式＝０（有界量乘以无穷小量）

4、求

解：

令，原式＝

5、求

解：

原式＝

6、求极限

解：

7、设,求

解：

当时，；

8、设，其中为何值时，在x=0处可导，为什么，并求。

解：

，故要使存在，必须

又

要使有导数存在,必须b=0.

综上可知,当A=b=0,为任意常数时，在x=0处可导，且

9、计算下列第一型曲面积分：

其中为

解:

由平面构成:

10、

解：

11、

解：

由洛必达（L’Hospital）法则得

12、

解：

13、

解:

14、

解:

15、

解:

四、证明题（共17题，共156分）

1、（6分）设函数在上连续，在内可导，且。

试证：

如果，则方程在内仅有一个实根。

证明：

因为在上连续，在内可导，，

于是由零点存在定理知，至少存在一点使得，又，

因此知在上为严格格单调增加的，

故方程在内仅有一个实根。

2、（10分）指出函数的不连续点，并判定不连续点的类型.

解：

的不连续点为

又

而在点没有定义，于是知为的第一类不连续点；

为的第二类不连续点；为的第三类不连续点。

3、（10分）设在上连续，在内可导，，又，证明在内有.

证明：

由于

又在上连续，在内可导，，由拉格朗日中值定理知，使得，从而在内有

4、（12分）设

（1）证明在（0，0）点连续

（2）求

（3）证明在（0，0）点可微

解：

（1）令则

故在（0，0）点连续。

（2）

（3）由于

即在（0，0）点可微.

5、（6分）设在严格单调递减，存在，

且试证明.

证明：

令，则由题意有

6、（10分）设为可微函数.求，其中

（1）

解：

将已知等式两边对x求导得

（2）

将x=0代入

（1）式解得，再将x=0代入

（2）得

7、（10分）在-1

证明：

令，则

，即

（1）

将x=0代入

（1）

但

8、（10分）求幂级数的收敛域。

解：

由于，则R=2，即当时其绝对收敛

又当x+1=2，即x=1时，原级数为发散

当，即时，原级数为收敛

故原级数的收敛域为

9、（7分）证明：

当时，.

证明：

设，则在连续.则在单调增加。

则对任意有，

即

10、（10分）设在上可微，且满足

（1）求证：

在（0,1）内至少存在一点，使.

证明：

由

（1）式及积分中值定理知，存在，使

（2）

令,则由

（2）式及假设可知在上满足罗尔定理的条件，故存在使

11、（10分）求的收敛域，并求其和函数.

解：

设，则由及都发散，

可知的收敛域为（1,-1）.

再由于

12、（10分）设试证明：

在x=0处连续.

证明：

则

因此在x=0处连续.

13、（6分）证明由积分确定的连续函数零点定理：

设在上连续，若，则，使得.

证明：

用反证法.若对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必，使得.

3、你知道月食的形成过程吗？

3、米饭里面的主要成分是淀粉。

米饭淀粉遇到碘酒，颜色变成蓝色，这种蓝色物质是一种不同于米饭和淀粉的新物质。

14、（10分）设在上连续,且满足.试证:

使得.

18、大多数生物都是由多细胞组成的，但也有一些生物，它们只有一个细胞，称为单细胞生物。

如草履虫、变形虫、细菌等。

证明：

取变换,则,已知积分等式变为

.

注意到时,也有,因而在上连续,于是

.

由此可得,使得.

15、（12分）设在上连续,在内可导,且,记,

（1）求;

（2）求证:

使得;

4、如何借助大熊座找到北极星？

（P58）解：

（1）;

答：

①我们每个人要做到不乱扔果皮，不随地吐痰，爱护花草树木，搞好环境卫生，保护好身边的环境。

②力争做一个环保小卫士，向身边的人宣传和倡议环保。

（2）因为,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,,使得,即;

13、以太阳为中心，包括围绕它转动的八大行星（包括围绕行星转动的卫星）、矮行星、小天体（包括小行星、流星、彗星等）组成的天体系统叫做太阳系。

16、（7分）设，试证数列存在极限，并求此极限。

10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖，世界人均供水量自1970年以来开始减少，而且持续下降。

证明：

由知，。

假设，则，由归纳法知为单调下降数列，又显然有，所以有下界。

由单调有界原理知，数列收敛，所以可令，对两边取极限得，解得,故

17、（10分）设，证明：

在处可微；在处不可微。

21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：

仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。

证明：

因为，所以函数在处可导，由可导与可微的关系知在处可微；

13、以太阳为中心，包括围绕它转动的八大行星（包括围绕行星转动的卫星）、矮行星、小天体（包括小行星、流星、彗星等）组成的天体系统叫做太阳系。

又当时，，

3、你知道哪些化学变化的事例呢？

举出几个例子。

而极限不存在，故在处不可导，由可导与可微的关系知在处不可微。