1、数学分析选讲参考答案数学分析选讲A/B模拟练习题参考答案1、选择题:(共18题,每题3分) 1、下列命题中正确的是( A B )A、若,则是的不定积分,其中为任意常数 B、若在上无界,则在上不可积C、若在上有界,则在上可积D、若在上可积,则在上可积2、设,则当时,有( B )A与是等价无穷小 B与同阶但非是等价无穷小C是比高阶的无穷小D是比低阶的无穷小3、若为连续奇函数,则为( A )A、奇函数 B、偶函数C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.4、函数在上连续是在上可积的( A )条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件.5、若为连
2、续奇函数,则为( B )A、奇函数 B、偶函数C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.6、设则是的( B )A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点7、设,当时,恒有,已知,.则正确的选项是( A )A、 B、 C、 D、A和B的大小关系不定.8、函数f(x,y) 在点连续是它在该点偏导数都存在的( A )A.既非充分也非必要条件 B充分条件C.必要条件 D.充要条件9、极限( D )A、 B、 C、 D、不存在.10、部分和数列有界是正项级数收敛的( C )条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要11、极限( A )A、
3、 B、 C、 D、不存在.12、与的定义等价的是( B D ) A、总有B、至多只有的有限项落在之外C、存在自然数N,对当,有D、存在自然数N,对有13、曲线( D )A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线 C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线14、下列命题中,错误的是( A D )A、若在点连续,则在既是右连续,又是左连续 B、若对在上连续,则在上连续C、若是初等函数,其定义域为,则D、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在且相等15、设为单调数列,若存在一收敛子列,这时有( A )A、B、不一定收敛C、不一定有界D、当且仅当预先假设了为有界数列时,才有A成立16、设在
4、R上为一连续函数,则有( C ) A、当为开区间时必为开区间B、当为闭区间时必为闭区间C、当为开区间时必为开区间D、以上A,B,C都不一定成立17、下列命题中错误的是( )A、若,级数收敛,则收敛;B、若,级数收敛,则不一定收敛;C、若是正项级数,且有则收敛;D、若,则发散18、设为一正项级数,这时有( D )A、若,则收敛B、若收敛,则C、若收敛,则 D、以上A,B,C都不一定成立2、填空题:(共15题,每题2分)1、设,则 2或-2 2、= 3、= 4、= 2 5、设收敛,则= 10 6、= 7、 2 8、 8 9、设,则 10、设,则 11、幂级数的收敛半径为 1 12、积分的值为 0
5、13、曲线与轴所围成部分的面积为 36 14、 15、= 0三、计算题:(共15题,每题8分)1、求.解: =2、将展开成的幂级数,并指出其收敛域。解: = = 且由 知 3、求解:原式(有界量乘以无穷小量)4、求解:令,原式 5、求解:原式 6、求极限解: 7、设, 求解:当时,; 8、设,其中为何值时,在x=0处可导,为什么,并求。解: ,故要使存在,必须又要使有导数存在,必须b=0.综上可知,当A=b=0,为任意常数时,在x=0处可导,且9、计算下列第一型曲面积分:其中为解:由平面构成: 10、解: 11、解:由洛必达(LHospital)法则得12、解: 13、 解: 14、 解: 1
6、5、解: 四、证明题(共17题,共156分)1、(6分)设函数在上连续,在内可导,且。试证:如果,则方程在内仅有一个实根。证明:因为在上连续,在内可导,于是由零点存在定理知,至少存在一点使得,又,因此知在上为严格格单调增加的,故方程在内仅有一个实根。2、(10分)指出函数的不连续点,并判定不连续点的类型.解: 的不连续点为 又 而在点没有定义,于是知为的第一类不连续点; 为的第二类不连续点;为的第三类不连续点。 3、(10分)设在上连续,在内可导,又,证明在内有.证明:由于又在上连续,在内可导,由拉格朗日中值定理知,使得,从而在内有4、(12分)设(1)证明在(0,0)点连续(2)求(3)证明
7、在(0,0)点可微解:(1)令则 故在(0,0)点连续。 (2) (3)由于 即在(0,0)点可微. 5、(6分)设在严格单调递减,存在, 且试证明.证明:令,则由题意有 6、(10分) 设为可微函数.求,其中(1)解:将已知等式两边对x求导得 (2)将x=0代入(1)式解得,再将x=0代入(2)得7、(10分)在-1x1有意义,证明证明:令,则,即(1)将x=0代入(1)但8、(10分)求幂级数的收敛域。解:由于,则R=2,即当时其绝对收敛又当x+1=2,即x=1时,原级数为发散当,即时,原级数为收敛故原级数的收敛域为9、(7分)证明:当时,.证明:设,则在连续. 则在单调增加。则对任意有,
8、即10、(10分)设在上可微,且满足 (1)求证:在(0,1)内至少存在一点,使.证明:由(1)式及积分中值定理知,存在,使 (2)令,则由(2)式及假设可知在上满足罗尔定理的条件,故存在使11、(10分) 求的收敛域,并求其和函数.解:设,则由及都发散,可知的收敛域为(1,-1).再由于12、(10分)设 试证明:在x=0处连续.证明: 则因此在x=0处连续.13、(6分)证明由积分确定的连续函数零点定理:设在上连续,若,则,使得.证明:用反证法. 若对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必,使得.3、你知道月食的形成过程吗?3、米饭里
9、面的主要成分是淀粉。米饭淀粉遇到碘酒,颜色变成蓝色,这种蓝色物质是一种不同于米饭和淀粉的新物质。14、(10分)设在上连续,且满足.试证:,使得.18、大多数生物都是由多细胞组成的,但也有一些生物,它们只有一个细胞,称为单细胞生物。如草履虫、变形虫、细菌等。证明:取变换,则,已知积分等式变为.注意到时,也有,因而在上连续,于是.由此可得,使得.15、(12分)设在上连续,在内可导,且,记,(1)求;(2)求证:,使得;4、如何借助大熊座找到北极星?(P58)解:(1);答:我们每个人要做到不乱扔果皮,不随地吐痰,爱护花草树木,搞好环境卫生,保护好身边的环境。力争做一个环保小卫士,向身边的人宣传
10、和倡议环保。(2) 因为,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理, ,使得,即;13、以太阳为中心,包括围绕它转动的八大行星(包括围绕行星转动的卫星)、矮行星、小天体(包括小行星、流星、彗星等)组成的天体系统叫做太阳系。16、(7分)设,试证数列存在极限,并求此极限。10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖,世界人均供水量自1970年以来开始减少,而且持续下降。证明:由知,。假设,则,由归纳法知为单调下降数列,又显然有,所以有下界。由单调有界原理知,数列收敛,所以可令,对两边取极限得,解得,故17、(10分)设,证明:在处可微;在处不可微。21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团,如:仙女座星系、猎犬座星系,目前人类已发现了超过100亿个河外星系。证明:因为,所以函数在处可导,由可导与可微的关系知在处可微;13、以太阳为中心,包括围绕它转动的八大行星(包括围绕行星转动的卫星)、矮行星、小天体(包括小行星、流星、彗星等)组成的天体系统叫做太阳系。又当时,3、你知道哪些化学变化的事例呢?举出几个例子。而极限不存在,故在处不可导,由可导与可微的关系知在处不可微。
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