高等数学教学课件作者3年专科教学课件作者第三版盛祥耀第一节导数的概念PPT资料.ppt
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第二章导数与微分,第一节导数的概念,一、瞬时速度曲线的切线斜率,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、导函数,六、可导与连续的关系,四、导数的物理意义,1.变速直线运动的瞬时速度,如果物体作直线运动,,在直线上选取坐标系,,该物体所处的位置坐标s是时间t的函数,记为,s=s(t),,则从时刻t0到t0+t的时间间隔内它的平均速度为,一、瞬时速度曲线的切线斜率,叫做物体在t0时刻的瞬时速度,简称速度,,在匀速运动中,,这个比值是常量,,但在变速运动中,它不仅与t0有关,,而且与t也有关,,很小时,,与在t0时刻的速度相近似.,如果当t趋于0时,,平均速度的极限存在,,则将这个极限值,即,当t,记作v(t0),,点P是曲线L上的动点,,2.曲线切线的斜率,定义1设点P0是曲线L上的一个定点,,T,P0,P,x0,x0+x,N,当点P沿曲线L趋向于点P0时,,如果割线PP0的极限位置P0T存在,,则称直线P0T为曲线L在点P0处的切线.,设曲线方程为y=f(x).,在点P0(x0,y0)处的附近取一点P(x0+x,y0+y).,那么割线P0P的斜率为,x,y,y=f(x),如果当点P沿曲线趋向于点P0时,割线P0P的极限位置存在,,即点P0处的切线存在,,此刻x0,,割线斜率tan趋向切线P0T的斜率tan,,即,切线定义,定义2设函数y=f(x)在点x0的一个邻域内有定义.,在x0处给x以增量x(x0+x仍在上述邻域内),,函数y相应地有增量,y=f(x0+x)-f(x0),,二、导数的定义,则称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数.,即,此时也称函数f(x)在点x0处可导.,有时为了突出自变量x,又叫函数f(x)对x的导数,记为.,如果上述极限不存在,则称f(x)在x0处不可导.,例1求函数f(x)=x2在x0=1处的导数,即f
(1).,解第一步求y:
@#@,y=f(1+x)-f
(1)=(1+x)2-12,=2x+(x)2.,第三步求极限:
@#@,所以f
(1)=2.,第二步求:
@#@,函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,即,tan=f(x0).,y=f(x),x0,P,三、导数的几何意义,法线方程为,其中y0=f(x0).,y-y0=f(x0)(x-x0).,由此可知曲线y=f(x)上点P0处的切线方程为,例2求曲线y=x2在点(1,1)处的切线和法线方程.,解从例1知(x2)|x=1=2,即点(1,1)处的切线斜率为2,,所以,切线方程为,y1=2(x-1).,即,y=2x-1.,法线方程为,即,从导数的几何意义可知:
@#@,导数的绝对值|f(x0)|越小,曲线在该点附近越平缓.,导数的绝对值|f(x0)|越大,曲线在该点附近越陡;@#@,四、导数的物理意义,对于不同的物理量有着不同的物理意义.,例如变速直线运动路程s=s(t)的导数,就是速度,即s(t0)=v(t0).,我们也常说路程函数s(t)对时间的导数就是速度.,例如变速直线运动速度v=v(t)的导数,就是加速度,即v(t0)=a(t0),,即速度函数v(t)对时间的导数就是加速度.,例3求函数y=x2在任意点x0(,)处的导数.,解,y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x02,=2x0x+(x)2.,五、导函数,第二步求:
@#@,求法与例1一样.,第一步求y:
@#@,第三步取极限:
@#@,即,有了上式,求具体某一点,如x0=1处导数,就很容易了,只要将x0=1代入即得,它的计算公式是:
@#@,例3表明,给定了x0就对应有函数f(x)=x2的导数值,这样就形成了一个新的函数,,f(x)=x2的导函数,它的表达式就是,(x2)=2x.,一般地,函数f(x)的导函数记作f(x),,叫做函数,注意:
@#@计算极限过程中x是不变的.,类似例3,我们可以得xn(n为整数)的导函数,,当n为任意实数时,上式仍成立,即,(xn)=nxn-1.,(x)=x-1.,例4求f(x)=sinx的导函数(x(,).,解,即,(sinx)=cosx.,(cosx)=-sinx.,类似可得,例5求f(x)=lnx(x(0,)的导函数.,解,即,类似可得,解,例6求f(x)=ex(x(-,)的导函数.,即,(ex)=ex.,类似可得,(ax)=axlna.,例7问曲线y=lnx上何处的切线平行直线y=x+1?
@#@,解设点(x0,y0)处的切线平行直线y=x+1,,根据导数的几何意义及导函数与导数的关系,可知,即x0=1,代入y=lnx中,得y0=0,,所以曲线在点(1,0)处的切线平行直线y=x+1.,存在,则称此极限值为f(x)在点x0处的左导数,记作f-(x0);@#@,定义3,则称此极限值为f(x)在点x0处的右导数,记作f+(x0).,显然,f(x)在x0处可导的充要条件是f-(x0)及f+(x0)存在且相等.,定义4如果函数f(x)在区间I上每一点可导,则称f(x)在区间I上可导.,如果,同样,,如果I是闭区间a,b,则端点处可导是指f+(a)、f-(b)存在.,定理如果函数y=f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处连续,其逆不真.,证,其中y=f(x0+x)-f(x0),,所以,六、可导与连续的关系,即函数f(x)在点x0处连续.,但其逆不真,即函数f(x)在点x0处连续,,而函数f(x)在点x0处不一定可导.,例8讨论函数y=|x|在点x0=0处的连续性与可导性.,解y=f(0+x)-f(0),=|0+x|-|0|,=|x|,,即f(x)=|x|在x0=0处连续,,存在,,在x0=0处左、右导数不相等,所以在x=0处函数y=|x|不可导.,因为,在x=1处的连续性与可导性.,解先求在x=1时的y.,当x0时,,y=f(1+x)-f
(1),=(1+x)2+(1+x)-2,=3x+(x)2,,当x0时,,y=f(1+x)-f
(1)=2(1+x)3-2,=6x+6(x)2+2(x)3,,=6+6x+2(x)2.,从而知,因此,所以函数在x=1处连续,但不可导.,容易算出,又,