中考数学试题汇编专题28解直角三角形含答案.docx
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中考数学试题汇编专题28解直角三角形含答案
解直角三角形
1．选择题
1、（苏州二模）如图，把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°，求长方形卡片的周长.（精确到1mm，参考数据:
）
答案：
解：
长方形卡片周长为200mm.
2、（河三模）在△ABC中，若＋（1－tanB）2＝0，
则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
答案：
D
3.（山东枣庄·模拟）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④
【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：
∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，
∴OA⊥BC，故①正确；
∵∠D=30°，
∴∠ABC=∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵点A是劣弧的中点，
∴BC=2CE，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB=6cm，
∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，
∴BC=2BE=6cm，故②正确；
∵∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=，
故③正确；
∵∠AOB=60°，
∴AB=OB，
∵点A是劣弧的中点，
∴AC=AB，
∴AB=BO=OC=CA，
∴四边形ABOC是菱形，
故④正确．
故选：
B．
【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．
二、填空题
1、（河三模）如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_____米.
答案：
6
2、（河三模）将一副三角尺按如图所示方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 _____ ．
答案：
75°
3.（广东深圳·一模）如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为 10 米．（保留根号）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】如图，因为60°的角是△ABC的一个外角，且∠B为30°已知，所以根据三角形外角和可知∠CAB=30°，即AC=BC=10m，从而利用△ABD求出BD的长，即可求出CD，利用30°角的余弦值，进而求出AB．
【解答】解：
如图，作AD⊥CD于D点．
∵∠B=30°，∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠CAB，
∴∠CAB=30°．
∴BC=AC=10m，
在Rt△ACD中，CD=AC•cos60°=10×0.5=5m，
∴BD=15．
∴在Rt△ABD中，
AB=BD÷cos30°=15÷=10m．
故答案为：
10．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4.（湖南湘潭·一模）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几
何图形，已知BC=BD=15，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为
（参考数据：
20°≈0.342，20°≈0.940，40°≈0.643，40°≈0.766．精确
到0.1,可用科学计算器）．
答案：
14.1
5.（黑龙江大庆·一模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，tan∠B=，BC=30，D为BC中点，射线DE⊥AC．将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A’，点B的对应点为B’），射线A’B’分别交射线DA、DE于M、N．当DM=DN时，DM的长为________．
第1题
答案：
5+
2．解答题
1．（重庆铜梁巴川·一模）如图，高36米的楼房AB正对着斜坡CD，点E在斜坡CD的中点处，已知斜坡的坡角（即∠DCG）为30°，AB⊥BC．
（1）若点A、B、C、D、E、G在同一个平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，问点A、E之间的距离AE长多少米？
（精确到十分位）
（2）现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为：
1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？
（参考数据：
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）
【分析】
（1）延长FE交AB于M，设ME=x，根据直角三角形函数得出AM=tanα•x，BM=tanβ•x，然后根据tanα•x+tanβ•x=36，即可求得EM的长，然后通过余弦函数即可求得AE；
（2）根据BM=NG=DN，得到DN的长，然后解直角三角形函数求得EN和FN，进而求得EF和DF的长，然后根据题意列出方程，解方程即可求得．
【解答】解：
（1）延长FE交AB于M，
∵EF∥BC，
∴MN⊥AB，MN⊥DG，
设ME=x，
∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，
∵AB=36，
∴tanα•x+tanβ•x=36，
∴tan37°x+tan24°x=36，
0.75x+0.45x=36，
解得x=30，
∴AE==≈37.5（米）；
（2）延长EF交DG于N，
∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC，
∴DN=GN=13.5（米），
∵∠DCG=30°，
∴∠DEN=30°，
∴EN=DN•cot30°=13.5×，
∵=，
∴∠DFN=60°，
∴∠EDF=30°，FN=DN•cot60°=13.5×，
∴DF=EF=EN﹣FN=13.5×，
∴EF+DF=27×=18，
设施工队原计划平均每天修建y米，
根据题意得，=+2，
解得x=3（米），
经检验，是方程的根，
答：
施工队原计划平均每天修建3米．
2．（山西大同·一模）
（1）如图，在△ABC中用直尺和圆规作AB边上的高CD（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）图中的实线表示从A到B需经过C点的公路，且AC=10km，∠CAB=25°，
∠CBA=37°.现因城市改造需要在A、B两
地之间改建一条笔直的公路。
问：
公路改造后比
原来缩短了多少千米？
（参考数据：
sin25°≈0.41，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，
结果精确到0.01）
答案：
（1）图略
（2）在Rt△ACD中
CD=ACsin25°=4.2
AD=ACcin25°=9.1
在Rt△BCD中
BD=CD÷tan37°=5.6
AB=AD+DB=4.7
BC=CD÷sin37°=7.0
∴AC+BC-AB=2.3
3．（四川峨眉·二模）如图，两座建筑物与，其地面距离为米，为的中点，从点测得的仰角为，从处测得的俯角为，现准备在点与点之间拉一条绳子挂上小彩旗（不计绳子弯曲），求绳子的长度.（结果保留一位小数，，）
答案：
解：
连结，
∵=，为的中点，
∴．
在中，，
，
∴．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴（米）．
答：
绳子的长度大约为米。
4．（重庆巴蜀·一模）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：
．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：
≈1.41，≈2.24，≈2.45）
【分析】
（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM=CM=CD=3，则AN=DM=3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i=1：
，得出BN=AN=6，然后根据勾股定理求出AB；
（2）先解Rt△MED，求出EM=DM=3，那么EC=EM﹣CM=3﹣3，再根据BE=BC﹣EC即可求解．
【解答】解：
（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCM=45°．
∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，
∴DM=CM=CD=3，
∴AN=DM=3，
∵通道斜面AB的坡度i=1：
，
∴tan∠ABN==，
∴BN=AN=6，
∴AB==3≈7.4．
即通道斜面AB的长约为7.4米；
（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3，
∴EM=DM=3，
∴EC=EM﹣CM=3﹣3，
∴BE=BC﹣EC=8﹣（3﹣3）=8+3﹣3≈4.9．
即此时BE的长约为4.9米．
5．（重庆巴南·一模）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据：
≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
【分析】
（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=24m，DC=EF=1.6m，从而求出BC．
（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD，则AB=AD﹣BD．
【解答】解：
（1）过点E作ED⊥BC于D，
根据题意得：
EF⊥FC，ED∥FC，
∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，
∴∠EBD=45°，
∴BD=ED=FC=24m，
∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=25.6（m），
答：
建筑物BC的高度为25.6m．
（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，即∠AED=52°，
∴AD=ED•tan52°
≈24×1.28≈30.8，
∴AB=AD﹣BD=30.8﹣24=6.8．
答：
旗杆AB的高度约为6.8m．
5．（22）（天津北辰区·一摸）（本小题10分）
如图，甲、乙两数学兴趣小组测量山CD的高度.甲小组在地面A处测量，乙小组在上坡B处测量，AB=200m.甲小组测得山顶D的仰角为45°，山坡B处的仰角为30°；乙小组测得山顶D的仰角为58°.求山CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：
，，供选用.
解：
过B作BE⊥AC，BF⊥DC，E，F为垂足.
根据题意，有∠DAC=45°，∠BAC=30°，
∠DBF=58°，AB=200.
∵BE⊥AC，BF⊥DC，DC⊥AC，
∴四边形BECF是矩形.
∴，.…2分
设BF=，则CE=BF=.
在Rt△ABE中，，，
∴，
.…5分
在Rt△DBF中，，
∴.…7分
在Rt△DAC中，∠DAC=45°，
∴AC=DC.即
∴.解得，.
∴.
答：
山高约为295.2m..…10分
6．（天津市和平区·一模）在一次军事演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方
1000m的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为
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