怎样证明弦切角.docx

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怎样证明弦切角

怎样证明弦切角

　　怎样证明弦切角　　设圆心为o，连接oc，ob，oa。

过点a作tp的平行线交bc于d，

　　则∠tcb=∠cda

　　∵∠tcb=90-∠ocd

　　∵∠boc=180-2∠ocd

　　∴,∠boc=2∠tcb

　　∵∠boc=2∠cab

　　∴∠tcb=∠cab

　　2

　　接oboc过o做oe⊥bc

　　所以∠a=1/2

　　又因为∠oct=90°

　　∠oec=90°

　　所以∠eoc=∠tcb

　　所以∠tcb=∠a

　　3

　　温馨提示

　　设切点为a切线ab弦ac圆心为o过a作直径ad连oc

　　角cab等于90度减角dac

　　因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac

　　即可证明角aoc等于二倍的角cab

　　参考资料：

弦切角是这弦所对的圆心角的一半

　　4

　　线段ad与线段ef互相垂直平分。

　　证明:

设ad交ef于点g.

　　因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b，

　　又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad，

　　从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad,

　　而∠pac+∠dac=∠pad，

　　∠b+∠bad=∠pda，所以

　　∠pad=∠pda，则△pad为等腰三角形，

　　因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad，

　　从而ad垂直ef，

　　则∠age=∠agf=90°，

　　再由∠gaf=∠gae，得到

　　△eag≌△fag，

　　从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。

　　5

　　圆心o在∠bac的一边ac上

　　∵ac为直径，ab切⊙o于a，

　　∴弧cma=弧ca

　　∵为半圆,

　　∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.

　　过a作直径ad交⊙o于d,

　　若在优弧m所对的劣弧上有一点e

　　那么，连接ec、ed、ea

　　则有：

∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

　　∴∠cea=∠cab

　　∴

　　圆心o在∠bac的外部,

　　过a作直径ad交⊙o于d

　　那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

　　∴∠cda=∠cab

　　∴

　　编辑本段弦切角推论

　　推论内容

　　若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

　　应用举例

　　例1：

如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.

　　解：

连结oa，ob.

　　∵在rt△abc中,∠c=90

　　∴∠bac=30°

　　∴bc=1/2a

　　例2：

如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

　　求证：

ef∥bc.

　　证明：

连df.

　　ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

　　∠efd=∠bad

　　∠efd=∠dac

　　⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

　　∠efd=∠fdc

　　ef∥bc

　　弦切角逆定理证明

　　已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线

　　证明：

连接ao并延长交圆o于d，连接cd，

　　则角adc=角abc=角cae

　　而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

　　所以角dae=角dac+角cae=90度

　　故ae为切线

　　弦切角定理证明　　弦切角定理

　　编辑本段弦切角定义

　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

　　∴∠tcb=∠cab

　　证明已知：

ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.

　　求证：

　　证明：

分三种情况：

　　圆心o在∠bac的一边ac上

　　∵ac为直径，ab切⊙o于a，

　　∴弧cma=弧ca

　　∵为半圆,

　　∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.

　　过a作直径ad交⊙o于d,

　　若在优弧m所对的劣弧上有一点e

　　那么，连接ec、ed、ea

　　则有：

∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

　　∴∠cea=∠cab

　　∴

　　圆心o在∠bac的外部,

　　过a作直径ad交⊙o于d

　　那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

　　∴∠cda=∠cab

　　∴

　　编辑本段弦切角推论

　　推论内容

　　若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

　　应用举例

　　例1：

如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.

　　解：

连结oa，ob.

　　∵在rt△abc中,∠c=90

　　∴∠bac=30°

　　∴bc=1/2a

　　例2：

如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

　　求证：

ef∥bc.

　　证明：

连df.

　　ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

　　∠efd=∠bad

　　∠efd=∠dac

　　⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

　　∠efd=∠fdc

　　ef∥bc

　　例3：

如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

　　求证：

ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

　　证明：

∵ab是⊙o直径

　　∴∠acb=90

　　∵cd⊥ab

　　∴∠acd=∠b，

　　∵mn切⊙o于c

　　∴∠mca=∠b，

　　∴∠mca=∠acd，

　　即ac平分∠mcd，

　　同理：

bc平分∠ncd.

　　弦切角定理的证明　　弦切角定理：

定义弦切角定理：

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明

　　证明：

设圆心为o，连接oc，ob，oa。

过点a作tp的平行线交bc于d，

　　则∠tcb=∠cda

　　∵∠tcb=90-∠ocd

　　∵∠boc=180-2∠ocd

　　∴,∠boc=2∠tcb

　　证明：

分三种情况：

　　圆心o在∠bac的一边ac上

　　∵ac为直径，ab切⊙o于a，

　　∴弧cma=弧ca

　　∵为半圆,

　　圆心o在∠bac的内部.

　　过a作直径ad交⊙o于d,

　　那么

　　.

　　圆心o在∠bac的外部,

　　过a作直径ad交⊙o于d

　　那么

　　2

　　连接并延长to交圆o于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

　　3

　　编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。

∴∠tcb=∠cab证明已知：

ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：

证明：

分三种情况：

圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：

∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：

如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：

连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a例2：

如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：

ef∥bc.证明：

连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：

如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：

ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：

∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：

bc平分∠ncd.

　　弦切角定理证明方法　　连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

　　而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

　　由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

　　连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

　　由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

　　第一题重新证明如下：

　　首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

　　连接oa、oc、bc，则有

　　∠acd+∠aco=90°

　　=

　　=

　　=∠aco+∠aoc,

　　所以∠acd=∠aoc，

　　而∠cba=∠aoc，

　　得∠acd=∠cba。

　　另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，

　　所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

　　2

　　证明一：

设圆心为o，连接oc，ob,。

　　∵∠tcb=90-∠ocb

　　∵∠boc=180-2∠ocb

　　∴,∠boc=2∠tcb

　　∵∠boc=2∠cab

　　∴∠tcb=∠cab

　　证明已知：

ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.

　　求证：

　　证明：

分三种情况：

　　圆心o在∠bac的一边ac上

　　∵ac为直径，ab切⊙o于a，

　　∴弧cma=弧ca

　　∵为半圆,

　　∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.

　　过a作直径ad交⊙o于d,

　　若在优弧m所对的劣弧上有一点e

　　那么，连接ec、ed、ea

　　则有：

∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

　　∴∠cea=∠cab

　　∴

　　圆心o在∠bac的外部,

　　过a作直径ad交⊙o于d

　　那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

　　∴∠cda=∠cab

　　∴

　　编辑本段弦切角推论

　　推论内容

　　若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

　　应用举例

　　例1：

如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.

　　解：

连结oa，ob.

　　∵在rt△abc中,∠c=90

　　∴∠bac=30°

　　∴bc=1/2a

　　例2：

如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

　　求证：

ef∥bc.

　　证明：

连df.

　　ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

　　∠efd=∠bad

　　∠efd=∠dac

　　⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

　　∠efd=∠fdc

　　ef∥bc

　　例3：

如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，

　　求证：

ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.

　　证明：

∵ab是⊙o直径

　　∴∠acb=90

　　∵cd⊥ab

　　∴∠acd=∠b，

　　∵mn切⊙o于c

　　∴∠mca=∠b，

　　∴∠mca=∠acd，