怎样证明弦切角.docx

1、怎样证明弦切角怎样证明弦切角 怎样证明弦切角设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d，则tcb=cdatcb=90-ocdboc=180-2ocd,boc=2tcbboc=2cabtcb=cab2接oboc过o做oebc所以a=1/2又因为oct=90oec=90所以eoc=tcb所以tcb=a3温馨提示设切点为a切线ab弦ac圆心为o过a作直径ad连oc角cab等于90度减角dac因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac即可证明角aoc等于二倍的角cab参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半4线段ad与线段ef互相垂直平分。证明:设ad交ef于点g

2、.因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即pac=b，又因为ad平分bac，所以dac=bad，从而pac+dac=b+bad,而pac+dac=pad，b+bad=pda，所以pad=pda，则pad为等腰三角形，因pm平分apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad，从而ad垂直ef，则age=agf=90，再由gaf=gae，得到eagfag，从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。5圆心o在bac的一边ac上ac为直径，ab切o于a，弧cma=弧ca为半圆,cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在bac的内部.过a作直径ad交o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接e

3、c、ed、ea则有：ced=cad、dea=dabcea=cab圆心o在bac的外部,过a作直径ad交o于d那么cda+cad=cab+cad=90cda=cab编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.在rtabc中,c=90bac=30bc=1/2a例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：efbc.证明：连df.ad是bac的平分线bad=dacefd=badefd=d

4、aco切bc于dfdc=dacefd=fdcefbc弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。tcb=cab证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在bac的一边ac上ac为直径，ab切o于a，弧cma=弧ca

5、为半圆,cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在bac的内部.过a作直径ad交o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：ced=cad、dea=dabcea=cab圆心o在bac的外部,过a作直径ad交o于d那么cda+cad=cab+cad=90cda=cab编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.在rtabc中,c=90bac=30bc=1/2a例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc

6、切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：efbc.证明：连df.ad是bac的平分线bad=dacefd=badefd=daco切bc于dfdc=dacefd=fdcefbc例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c，求证：ac平分mcd，bc平分ncd.证明：ab是o直径acb=90cdabacd=b，mn切o于cmca=b，mca=acd，即ac平分mcd，同理：bc平分ncd.弦切角定理的证明弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d，则t

7、cb=cdatcb=90-ocdboc=180-2ocd,boc=2tcb证明：分三种情况：圆心o在bac的一边ac上ac为直径，ab切o于a，弧cma=弧ca为半圆,圆心o在bac的内部.过a作直径ad交o于d,那么.圆心o在bac的外部,过a作直径ad交o于d那么2连接并延长to交圆o于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。tcb=cab证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac

8、所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在bac的一边ac上ac为直径，ab切o于a，弧cma=弧ca为半圆,cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧圆心o在bac的内部.过a作直径ad交o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：ced=cad、dea=dabcea=cab圆心o在bac的外部,过a作直径ad交o于d那么cda+cad=cab+cad=90cda=cab编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长.解：连结oa

9、，ob.在rtabc中,c=90bac=30bc=1/2a例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：efbc.证明：连df.ad是bac的平分线bad=dacefd=badefd=daco切bc于dfdc=dacefd=fdcefbc例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c，求证：ac平分mcd，bc平分ncd.证明：ab是o直径acb=90cdabacd=b，mn切o于cmca=b，mca=acd，即ac平分mcd，同理：bc平分ncd.弦切角定理证明方法连oc、oa，则有occd于点c。得ocad，

10、知oca=cad。而oca=oac，得cad=oac。进而有oac=bac。由此可知，0a与ab重合，即ab为o的直径。连接bc，且作ceab于点e。立即可得abc为rt，且acb=rt。由射影定理有ac=ae*ab。又cad=cae，ac公用，cda=cea，得ceacda，有ad=ae，所以，ac=ab*ad。第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有acd=cba。连接oa、oc、bc，则有acd+aco=90=aco+aoc,所以acd=aoc，而cba=aoc，得acd=cba。另外，acd+cad=90，cad=cab，所以有cab+cba=90，得bca=90，进而ab为o的直

11、径。2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。tcb=90-ocbboc=180-2ocb,boc=2tcbboc=2cabtcb=cab证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在bac的一边ac上ac为直径，ab切o于a，弧cma=弧ca为半圆,cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在bac的内部.过a作直径ad交o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：ced=cad、dea=dabcea=cab圆心o在bac的外部,过a作直径ad交o于d那么cda+cad=cab+cad=90cda=cab编辑本

12、段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.在rtabc中,c=90bac=30bc=1/2a例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：efbc.证明：连df.ad是bac的平分线bad=dacefd=badefd=daco切bc于dfdc=dacefd=fdcefbc例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c，求证：ac平分mcd，bc平分ncd.证明：ab是o直径acb=90cdabacd=b，mn切o于cmca=b，mca=acd，