第九章--期权的定价 (1)优质PPT.ppt

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以无收益资产看涨期权为例，当S=Xe-r（T-t）时，期权的时间价值最大。

当S-Xe-r（T-t）的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。

期权的时间价值,期权的时间价值,标的资产的市场价格与期权的协议价格期权的有效期标的资产价格的波动率无风险利率标的资产的收益,期权价格的影响因素,看涨期权价格的上限在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。

因此，对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：

其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。

期权价格的上限,看跌期权价格的上限美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格X，因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：

由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：

其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。

期权价格的上限,无收益资产欧式看涨期权价格的下限为推导出期权价格下限，考虑如下两个组合组合A：

一份欧式看涨期权加上金额为的现金；

组合B：

一单位标的资产。

T时刻：

组合A的价值为：

而组合B的价值为ST。

期权价格的下限,由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:

c+Xe-r（T-t）S所以cS-Xe-r（T-t）由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为,期权价格的下限,有收益资产欧式看涨期权价格的下限只要将上述组合A的现金改为+D，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：

期权价格的下限,无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：

组合C：

一份欧式看跌期权加一单位标的资产组合D：

金额为的现金在T时刻，组合C的价值为：

max（ST，X）组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。

由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：

期权价格的下限,由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：

期权价格的下限,有收益资产欧式看跌期权价格的下限只要将上述组合D的现金改为+D，就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：

从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。

期权价格的下限,提前执行无收益资产美式期权的合理性看涨期权由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此可以直观地判断提前执行是不明智的。

为了精确地推导这个结论，考虑如下两个组合：

组合A：

一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B：

一单位标的资产T时刻组合A的价值为max（ST，X），而组合B的价值为ST，可见组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。

即如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。

提前执行美式期权的合理性,若在时刻提前执行，则此时组合A的价值为：

，而组合B的价值为。

由于因此即：

若提前执行美式期权，组合A的价值将小于组合B。

比较两种情况可得：

提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。

因此，同一种无收益资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：

C=c可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：

提前执行美式期权的合理性,看跌期权为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，考察如下两种组合：

一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：

金额为的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，组合A的价值大于等于组合B。

若在时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为Xe-（T-），因此组合A的价值也高于组合B。

提前执行美式期权的合理性,因此，是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。

一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。

由于美式期权可提前执行，因此其下限为：

提前执行美式期权的合理性,提前执行有收益资产美式期权的合理性看涨期权由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，据此可知：

在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权才有可能最优。

先考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。

如果在tn时刻提前执行，则期权多方获得Sn-X的收益。

如不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。

在tn时刻期权的价值（Cn）,提前执行美式期权的合理性,因此，如果即：

则在tn提前执行是不明智的。

相反，如果，则在tn提前执行有可能是合理的。

实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。

同样，在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：

由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：

提前执行美式期权的合理性,看跌期权由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。

通过同样的分析，可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：

由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：

提前执行美式期权的合理性,无收益资产看涨期权价格曲线如下图所示。

有收益资产看涨期权价格曲线与上图类似，只是把Xe-r（T-t）换成Xe-r（T-t）+D即可。

期权价格曲线的形状,无收益资产欧式看跌期权价格曲线如下图所示有收益资产期权价格曲线与上图相似，只是把换为即可。

期权价格曲线的形状,无收益资产美式看跌期权价格曲线对有收益美式看跌期权价格曲线，只是把X换成D+X。

期权价格曲线的形状,无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系考虑如下两个组合：

一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：

一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时，两个组合的价值均为max（ST,X）。

由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：

这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系。

它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。

如果上式不成立，则存在无风险套利机会。

套利活动将最终促使上式成立。

看涨期权与看跌期权之间的平价关系,有收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系在标的资产有收益的情况下，只要把前面组合A中的现金改为+D，就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：

看涨期权与看跌期权之间的平价关系,无收益资产美式看涨期权与看跌期权的平价关系由于Pp，可得：

对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：

为了推出C和P更严密的关系，考虑以下两个组合：

一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：

一份美式看跌期权加上一单位标的资产如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max（ST,X），而此时组合A的价值为。

因此组合A的价值大于组合B。

如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于X。

因此组合A的价值也大于组合B。

看涨期权与看跌期权之间的平价关系,也就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：

C+XP+S由于c=C，因此，C+XP+SC-PS-X我们可得：

由于美式期权可能提前执行，因此不能得到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但可以得出结论：

无收益美式期权必须符合上述不等式。

看涨期权与看跌期权之间的平价关系,有收益资产美式看涨期权与看跌期权平价关系只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：

S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）,看涨期权与看跌期权之间的平价关系,第二节期权定价的理论基础,弱式效率市场假说与马尔可夫过程标准布朗运动普通布朗运动证券价格的变化过程伊藤过程和伊藤引理证券价格自然对数变化过程,弱式效率市场假说与马尔可夫过程,1965年，法玛（EFFama）提出了效率市场假说，该假说认为投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；

证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反映全部信息；

市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的，或称随机的，因此效率市场假说又称随机漫步理论。

效率市场假说可分为三类：

弱式、半强式和强式。

效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。

结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。

弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。

所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。

根据时间是否连续，随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程，前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程，后者指变量可以在连续的时间段变化的过程。

根据变量取值范围是否连续划分，随机过程可分为离散变量随机过程和连续变量随机过程，前者指变量只能取某些离散值，而后者指变量可以在某一范围内取任意值。

马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。

在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。

弱式效率市场假说与马尔可夫过程,设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两个特征：

特征1：

和的关系满足特征2：

对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。

从特征1可知，本身也具有正态分布特征，其均值为0，标准差为，方差为。

从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。

标准布朗运动,考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形。

用z（T）z（0）表示变量z在T中的变化量，它可被看作是在N个长度为t的小的时间间隔中z的变化总量，其中N=T/t，因此：

其中i（i=1，2，N）是标准正态分布的随机抽样值。

从特征2可知，是相互独立的，因此z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为Nt=T，标准差为。

标准布朗运动,由此可以发现两个特征：

在任意长度的时间间隔T中，遵循标准布朗运动的变量的变化值具有均值为0，标准差为的正态分布。

对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。

当0时，就可以得到极