图像处理与分析-王伟强-作业题及标准答案汇总-Word文件下载.docx
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8-1
向上取整sr
0.17
0.36
1
0.25
0.42
2.36
3
2
0.21
0.63
4.04
5
0.16
0.79
5.32
6
4
0.07
0.86
5.88
0.08
0.94
6.52
7
0.04
0.98
6.84
0.02
则新灰度级的概率分别是:
Ps(0)=0
Ps
(1)=Pr(0)=0.17
Ps
(2)=0
Ps(3)=Pr
(1)=0.25
Ps(4)=0
Ps(5)=Pr
(2)=0.21
Ps(6)=Pr(3)+Pr(4)=0.23
Ps(7)=Pr(5)=Pr(6)=Pr(7)=0.14
编写matlab程序并绘制直方图:
s=0:
1:
7;
p=[00.1700.2500.210.230.14];
bar(s,p);
axis([-1800.3]);
可以看出,此图较题目原图更加“均匀”。
【作业2】
1、完成课本数字图像处理第二版114页,习题3.10。
【解答】
由图可知
prr=-2r+2,0≤r≤1
pzz=2z,0≤z≤1
将两图做直方图均衡变换
s1=T1r=0rprwdw=0r-2w+2dw=-r2+2r
s2=T2z=0zpzwdw=0z2wdw=z2
令上面两式相等,则
z2=-r2+2r
因为灰度级非负,所以
z=-r2+2r
2、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。
(1)[123454321]*[20-2]
(2)-101-202-101*1320410323041052321431042
(1)设向量a=[123454321],下标从-4到4,即a(-4)=1,a(-3)=2……a(4)=1;
设向量b=[20-2],下标从-1到1,即b(-1)=2,b(0)=0,b
(1)=-2;
设向量c=a*b,下标从-5到5。
根据卷积公式可知
cx=t=-∞∞atbx-t=t=-44atbx-t
其中,-5≤x≤5,则
c(-5)=a(-4)b(-1)=1*2=2
c(-4)=a(-4)b(0)+a(-3)b(-1)=1*0+2*2=4
c(-3)=a(-4)b
(1)+a(-3)b(0)+a(-2)b(-1)=1*(-2)+2*0+3*2=4
c(-2)=a(-3)b
(1)+a(-2)b(0)+a(-1)b(-1)=2*(-2)+3*0+4*2=4
c(-1)=a(-2)b
(1)+a(-1)b(0)+a(0)b(-1)=3*(-2)+4*0+5*2=4
c(0)=a(-1)b
(1)+a(0)b(0)+a
(1)b(-1)=4*(-2)+5*0+4*2=0
c
(1)=a(0)b
(1)+a
(1)b(0)+a
(2)b(-1)=5*(-2)+4*0+3*2=-4
c
(2)=a
(1)b
(1)+a
(2)b(0)+a(3)b(-1)=4*(-2)+3*0+2*2=-4
c(3)=a
(2)b
(1)+a(3)b(0)+a(4)b(-1)=3*(-2)+2*0+1*2=-4
c(4)=a(3)b
(1)+a(4)b(0)=2*(-2)+1*0=-4
c(5)=a(4)b
(1)=1*(-2)=-2
所以卷积结果为:
[244440-4-4-4-4-2]
(2)设矩阵
b=-101-202-101
下标从(-1,-1)到(1,1),即b(-1,-1)=-1,b(-1,0)=0……b(1,1)=1;
设矩阵
a=1320410323041052321431042
下标从(-2,-2)到(2,2),即a(-2,-2)=3,a(-2,-1)=2……a(2,2)=4;
设矩阵c=a*b=b*a,下标从(-3,-3)到(3,3)。
cx,y=s=-∞∞t=-∞∞as,tbx-s,y-t=s=-22t=-22as,tbx-s,y-t
其中,-3≤x≤3,-3≤y≤3,则
c(-3,-3)=a(-2,-2)b(-1,-1)=3*(-1)=-3
……
c(0,0)=a(-1,-1)b(1,1)+a(-1,0)b(1,0)+a(-1,1)b(1,-1)
+a(0,-1)b(0,1)+a(0,0)b(0,0)+a(0,1)b(0,-1)
+a(1,-1)b(-1,1)+a(1,0)b(-1,0)+a(1,1)b(-1,-1)
=3*1+4*2+0*1+2*0+1*0+3*0+1*(-1)+0*(-2)+2*(-1)
=8
c(3,3)=a(2,2)b(1,1)=4*1=4
-1-3-13-204
-3-6-44-4211
-3-7-63-6415
-3-11-48-10317
-7-1125-10615
-8-56-4-698
-3-13-3-242
【作业3】
1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是
Hu,v=Ae-u2+v22σ2
根据二维傅里叶性质,证明空间域的相应滤波器形式为
hx,y=A2πσ2e-2π2σ2x2+y2
这些闭合形式只适用于连续变量情况。
在证明中假设已经知道如下结论:
函数e-πx2+y2的傅立叶变换为e-πu2+v2
IDFTHu,v=-∞∞-∞∞Ae-u2+v22σ2ej2πux+vydudv
=-∞∞-∞∞Ae-u22σ2+j2πuxe-v22σ2+j2πvydudv
=-∞∞-∞∞Ae-12σ2u2-j4πσ2uxe-12σ2v2-j4πσ2vydudv
=-∞∞-∞∞Ae-12σ2u2-j4πσ2ux-4π2σ4x2+4π2σ4x2e-12σ2v2-j4πσ2vy-4π2σ4y2+4π2σ4y2dudv
=-∞∞-∞∞Ae-u-j2πσ2x22σ2e-2π2σ2x2e-v-j2πσ2y22σ2e-2π2σ2y2dudv
令r=u-j2πσ2x,s=v-j2πσ2y,则du=dr,dv=ds,上式写成:
=-∞∞-∞∞Ae-r22σ2e-2π2σ2x2e-s22σ2e-2π2σ2y2drds
=Ae-2π2σ2x2+y2-∞∞e-r22σ2dr-∞∞e-s22σ2ds
=Ae-2π2σ2x2+y22πσ2πσ12πσ-∞∞e-r22σ2dr12πσ-∞∞e-s22σ2ds
因为后两项是高斯分布,在-∞到∞积分为1,故上式等于:
=A2πσ2e-2π2σ2x2+y2=hx,y
命题得证。
2、第二版课本习题4.6(a)
先来证明结论-1x+y=ejπx+y
根据欧拉公式展开等式右边
ejπx+y=cosx+yπ+jsinx+yπ
因为x,y均为整数,故sinx+yπ=0,
当x+y为奇数时,cosx+yπ=-1
当x+y为偶数时,cosx+yπ=1
故-1x+y=ejπx+y
再来证明题中等式
DFTfx,y-1x+y=DFTfx,yejπx+y
=1MNx=0M-1y=0N-1fx,yejπx+ye-j2πuxM+vyN
=1MNx=0M-1y=0N-1fx,ye-j2π-xM2M-yN2Ne-j2πuxM+vyN
=1MNx=0M-1y=0N-1fx,ye-j2πxu-M2M+yv-N2N
=Fu-M2,v-N2
3、观察如下所示图像。
右边的图像这样得到:
(a)用左侧图像乘以-1x+y;
(b)计算离散傅里叶变换(DFT);
(c)对变换取复共轭;
(d)计算离散傅里叶反变换;
(e)结果的实部再乘以-1x+y。
用数学方法解释为什么会产生右图的效果。
(忽略中间和右侧的黑白条纹,原题没有)
已知
IDFTFu,v=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,vej2πuxM+vyN=fx,y
则傅里叶变换的共轭复数进行傅里叶反变换的结果如下:
IDFTF*u,v=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,ve-j2πuxM+vyN
=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,vej2πu-xM+v-yN=f-x,-y
设原始图像为fx,y,经过(a)变换后得到
-1x+yfx,y
经过(b)变换后得到
Fu,v=1MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,ye-j2πuxM+vyN
经过(c)变换后得到
F*u,v=1MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,yej2πuxM+vyN
经过(d)变换后得到
IDFTF*u,v=1MNu=0M-1v=0N-11MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,yej2πuxM+vyNej2πuxM+vyN
其实部为-1x+yf-x,-y,经过(e)变换后得到
-1x+y-1x+yf-x,-y=f-x,-y
最终效果是将原图像上下颠倒,左右颠倒,实现了旋转180度的效果。
【作业4】
1、请用公式列举并描述出你所知道的有关傅里叶变换的性质。
1、时移性
2、频移性
3、均值
4、共轭对称性
5、对称性
6、周期性
7、线性
8、微分特性
9、卷积定理
10、相关定理
11、相似性
12、几种特殊函数的傅里叶变换
2、中文课本173页习题4.21
没有区别。
补0延拓的目的是在DFT相邻隐藏周期之间建立一个“缓冲区”。
如果把左边的图像无限复制多次,以覆盖整个平面,那么将形成一个棋盘,棋盘中的每个方格都是本图片和黑色的扩展部分。
假如将右边的图片做同样的处理,所得结果也是一样的。
因此,无论哪种形式的延拓,都能达到相同的分离图像的效果。
3、
(1)假设我们有一个[0,1]上的均匀分布随机数发生器U(0,1),请基于它构造指数分布的随机数发生器,推导出随机数生成方程。
(2)若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N(0,1),请推导出对数正态分布的随机数生成方程。
(1)设U(0,1)可生成随机数w,用它来生成具有指数CDF的随机数z,其CDF具有下面的形式
Fz=1-e-az0,z≥0,z<
令F(z)=w,当z≥0时,解方程1-e-az=w
得z=-1aln1-w