图像处理与分析-王伟强-作业题及标准答案汇总-Word文件下载.docx
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8－1
向上取整sr
0.17
0.36
1
0.25
0.42
2.36
3
2
0.21
0.63
4.04
5
0.16
0.79
5.32
6
4
0.07
0.86
5.88
0.08
0.94
6.52
7
0.04
0.98
6.84
0.02
则新灰度级的概率分别是：
Ps（0）=0
Ps
（1）=Pr（0）=0.17
Ps
（2）=0
Ps（3）=Pr
（1）=0.25
Ps（4）=0
Ps（5）=Pr
（2）=0.21
Ps（6）=Pr（3）+Pr（4）=0.23
Ps（7）=Pr（5）=Pr（6）=Pr（7）=0.14
编写matlab程序并绘制直方图：
s=0:
1:
7;
p=[00.1700.2500.210.230.14];
bar（s,p）;
axis（[-1800.3]）;
可以看出，此图较题目原图更加“均匀”。
【作业2】
1、完成课本数字图像处理第二版114页，习题3.10。
【解答】
由图可知
prr=-2r+2,0≤r≤1
pzz=2z,0≤z≤1
将两图做直方图均衡变换
s1=T1r=0rprwdw=0r-2w+2dw=-r2+2r
s2=T2z=0zpzwdw=0z2wdw=z2
令上面两式相等，则
z2=-r2+2r
因为灰度级非负，所以
z=-r2+2r
2、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。
（1）[123454321]*[20-2]
（2）-101-202-101*1320410323041052321431042
（1）设向量a=[123454321]，下标从-4到4，即a（-4）=1，a（-3）=2……a（4）=1；
设向量b=[20-2]，下标从-1到1，即b（-1）=2，b（0）=0，b
（1）=-2；
设向量c=a*b，下标从-5到5。
根据卷积公式可知
cx=t=-∞∞atbx-t=t=-44atbx-t
其中，-5≤x≤5，则
c（-5）=a（-4）b（-1）=1*2=2
c（-4）=a（-4）b（0）+a（-3）b（-1）=1*0+2*2=4
c（-3）=a（-4）b
（1）+a（-3）b（0）+a（-2）b（-1）=1*（-2）+2*0+3*2=4
c（-2）=a（-3）b
（1）+a（-2）b（0）+a（-1）b（-1）=2*（-2）+3*0+4*2=4
c（-1）=a（-2）b
（1）+a（-1）b（0）+a（0）b（-1）=3*（-2）+4*0+5*2=4
c（0）=a（-1）b
（1）+a（0）b（0）+a
（1）b（-1）=4*（-2）+5*0+4*2=0
c
（1）=a（0）b
（1）+a
（1）b（0）+a
（2）b（-1）=5*（-2）+4*0+3*2=-4
c
（2）=a
（1）b
（1）+a
（2）b（0）+a（3）b（-1）=4*（-2）+3*0+2*2=-4
c（3）=a
（2）b
（1）+a（3）b（0）+a（4）b（-1）=3*（-2）+2*0+1*2=-4
c（4）=a（3）b
（1）+a（4）b（0）=2*（-2）+1*0=-4
c（5）=a（4）b
（1）=1*（-2）=-2
所以卷积结果为：
[244440-4-4-4-4-2]
（2）设矩阵
b=-101-202-101
下标从（-1,-1）到（1,1），即b（-1,-1）=-1，b（-1,0）=0……b（1,1）=1；
设矩阵
a=1320410323041052321431042
下标从（-2,-2）到（2,2），即a（-2,-2）=3，a（-2,-1）=2……a（2,2）=4；
设矩阵c=a*b=b*a，下标从（-3,-3）到（3,3）。
cx,y=s=-∞∞t=-∞∞as,tbx-s,y-t=s=-22t=-22as,tbx-s,y-t
其中，-3≤x≤3，-3≤y≤3，则
c（-3,-3）=a（-2,-2）b（-1,-1）=3*（-1）=-3
……
c（0,0）=a（-1,-1）b（1,1）+a（-1,0）b（1,0）+a（-1,1）b（1,-1）
+a（0,-1）b（0,1）+a（0,0）b（0,0）+a（0,1）b（0,-1）
+a（1,-1）b（-1,1）+a（1,0）b（-1,0）+a（1,1）b（-1,-1）
=3*1+4*2+0*1+2*0+1*0+3*0+1*（-1）+0*（-2）+2*（-1）
=8
c（3,3）=a（2,2）b（1,1）=4*1=4
-1-3-13-204
-3-6-44-4211
-3-7-63-6415
-3-11-48-10317
-7-1125-10615
-8-56-4-698
-3-13-3-242
【作业3】
1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是
Hu,v=Ae-u2+v22σ2
根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为
hx,y=A2πσ2e-2π2σ2x2+y2
这些闭合形式只适用于连续变量情况。
在证明中假设已经知道如下结论：
函数e-πx2+y2的傅立叶变换为e-πu2+v2
IDFTHu,v=-∞∞-∞∞Ae-u2+v22σ2ej2πux+vydudv
=-∞∞-∞∞Ae-u22σ2+j2πuxe-v22σ2+j2πvydudv
=-∞∞-∞∞Ae-12σ2u2-j4πσ2uxe-12σ2v2-j4πσ2vydudv
=-∞∞-∞∞Ae-12σ2u2-j4πσ2ux-4π2σ4x2+4π2σ4x2e-12σ2v2-j4πσ2vy-4π2σ4y2+4π2σ4y2dudv
=-∞∞-∞∞Ae-u-j2πσ2x22σ2e-2π2σ2x2e-v-j2πσ2y22σ2e-2π2σ2y2dudv
令r=u-j2πσ2x，s=v-j2πσ2y，则du=dr，dv=ds，上式写成：
=-∞∞-∞∞Ae-r22σ2e-2π2σ2x2e-s22σ2e-2π2σ2y2drds
=Ae-2π2σ2x2+y2-∞∞e-r22σ2dr-∞∞e-s22σ2ds
=Ae-2π2σ2x2+y22πσ2πσ12πσ-∞∞e-r22σ2dr12πσ-∞∞e-s22σ2ds
因为后两项是高斯分布，在-∞到∞积分为1，故上式等于：
=A2πσ2e-2π2σ2x2+y2=hx,y
命题得证。
2、第二版课本习题4.6（a）
先来证明结论-1x+y=ejπx+y
根据欧拉公式展开等式右边
ejπx+y=cosx+yπ+jsinx+yπ
因为x，y均为整数，故sinx+yπ=0，
当x+y为奇数时，cosx+yπ=-1
当x+y为偶数时，cosx+yπ=1
故-1x+y=ejπx+y
再来证明题中等式
DFTfx,y-1x+y=DFTfx,yejπx+y
=1MNx=0M-1y=0N-1fx,yejπx+ye-j2πuxM+vyN
=1MNx=0M-1y=0N-1fx,ye-j2π-xM2M-yN2Ne-j2πuxM+vyN
=1MNx=0M-1y=0N-1fx,ye-j2πxu-M2M+yv-N2N
=Fu-M2,v-N2
3、观察如下所示图像。
右边的图像这样得到：
（a）用左侧图像乘以-1x+y；
（b）计算离散傅里叶变换（DFT）；
（c）对变换取复共轭；
（d）计算离散傅里叶反变换；
（e）结果的实部再乘以-1x+y。
用数学方法解释为什么会产生右图的效果。
（忽略中间和右侧的黑白条纹，原题没有）
已知
IDFTFu,v=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,vej2πuxM+vyN=fx,y
则傅里叶变换的共轭复数进行傅里叶反变换的结果如下：
IDFTF*u,v=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,ve-j2πuxM+vyN
=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,vej2πu-xM+v-yN=f-x,-y
设原始图像为fx,y，经过（a）变换后得到
-1x+yfx,y
经过（b）变换后得到
Fu,v=1MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,ye-j2πuxM+vyN
经过（c）变换后得到
F*u,v=1MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,yej2πuxM+vyN
经过（d）变换后得到
IDFTF*u,v=1MNu=0M-1v=0N-11MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,yej2πuxM+vyNej2πuxM+vyN
其实部为-1x+yf-x,-y，经过（e）变换后得到
-1x+y-1x+yf-x,-y=f-x,-y
最终效果是将原图像上下颠倒，左右颠倒，实现了旋转180度的效果。
【作业4】
1、请用公式列举并描述出你所知道的有关傅里叶变换的性质。
1、时移性
2、频移性
3、均值
4、共轭对称性
5、对称性
6、周期性
7、线性
8、微分特性
9、卷积定理
10、相关定理
11、相似性
12、几种特殊函数的傅里叶变换
2、中文课本173页习题4.21
没有区别。
补0延拓的目的是在DFT相邻隐藏周期之间建立一个“缓冲区”。
如果把左边的图像无限复制多次，以覆盖整个平面，那么将形成一个棋盘，棋盘中的每个方格都是本图片和黑色的扩展部分。
假如将右边的图片做同样的处理，所得结果也是一样的。
因此，无论哪种形式的延拓，都能达到相同的分离图像的效果。
3、
（1）假设我们有一个[0,1]上的均匀分布随机数发生器U（0,1），请基于它构造指数分布的随机数发生器，推导出随机数生成方程。
（2）若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N（0,1），请推导出对数正态分布的随机数生成方程。
（1）设U（0,1）可生成随机数w，用它来生成具有指数CDF的随机数z，其CDF具有下面的形式
Fz=1-e-az0,z≥0,z<
令F（z）=w，当z≥0时，解方程1-e-az=w
得z=-1aln1-w
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