二次型专题辅导.docx

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二次型专题辅导

二次型专题

一、知识结构与内容提要

（一）、二次型及其矩阵表示

1．二次型及其矩阵:

以数域上的元素为系数的个文字的二次齐次多项式，称为上的一个元二次型.其系数矩阵

是对称矩阵称为此二次型的矩阵,的秩称为此二次型的秩.

二次型的矩阵表示.

对于数域上全体元二次型的与数域上级全体对称阵，若二次型的矩阵为，定义，则是到的一个一一对应。

即若.

2．线性替换:

设；是两组文字,系数在数域上的一个关系式

或者（）,

称为由到的线性替换.当系数矩阵是非退化（可逆）的矩阵,称线性替换为非退化（可逆）的线性替换.

数域上的元二次型在非退化的线性替换下化成二次型,则.

3．矩阵的合同:

若数域上两个级矩阵,存在可逆矩阵使得,称矩阵合同.矩阵的合同关系是等价关系.

（二）二次型的标准形

任何一个二次型通过非退化的线性替换都可以化为只有平方项二次型,我们把只有平方项的二次型叫标准形/

1.配方法

二次型种由某个变量平方项的系数不为零,例如,此时把二次型对进行配方得

作变数替换

反解为

写成矩阵形式

.

经过变数替换,二次型化作

然后再对上式右边的个变量继续进行计算.如果,而某个,则对配方.

若所有（）,而有一个（）,则作变数替换

这就可以把二次型化为第一种情况.

2.合同变换法

把二次型矩阵进行初等行变换同时进行相同类型的初等列变换,把二次型矩阵化成对角形矩阵,而对单位矩阵仅进行相同类型的初等列变换,单位矩阵变成了非退化线性替换的矩阵.

（三）复、实二次型的规范型

1.复二次型的规范形

复数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形

其中是的秩.复二次型的规范形是唯一的.

2.复矩阵合同标准型

任何一个复对称矩阵都合同与下列形式的对角形矩阵

其中为矩阵的秩.

3.（惯性定理）实数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形

其中正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数（称为的符号差），是的秩.实二次型的规范形是唯一的.

4.实对称矩阵合同标准形

任何一个复对称矩阵都合同与下列形式的对角形矩阵

其中为矩阵的秩，为正惯性指标，为负惯性指标，叫符号差,矩阵叫矩阵的规范型.任何一个实对称矩阵的规范型式唯一的.

（四）实二次型正定

1.正定二次型

对于实二次型（为对称矩阵，）,如果对于任意不全为零的实数，都有，则称为正定二次型，而对应的实对称矩阵式正定矩阵；若，则称为半正定二次型，而对应的实对称矩阵是半正定矩阵；，则称为负定二次型，而对应的实对称矩阵是负定矩阵；，则称为半负定二次型，而对应的实对称矩阵是半负定矩阵.既不是（半）正定又不是（半）负定的二次型叫不定二次型,相应的矩阵叫不定矩阵.

2.正定二次型等价定理

设是实二次型,则下述四条等价：

（1）正定；

（2）正惯性指数等于变元个数；

（3）的矩阵，其中为可逆阵；

（4）的矩阵的所有顺序主子式都大于0；

（5）矩阵的特征值全大于零.

3.负定二次型等价定理

设是实二次型，则下述四条等价：

（1）负定；

（2）负惯性指数等于变元个数；

（3）的矩阵为，其中为可逆阵；

（4）的矩阵的所有顺序主子式负正相间；

（5）矩阵的特征值全小于零.

4.半正定二次型等价定理

设是实二次型，则下述四条等价：

（1）半正定；

（2）正惯性指数等于二次型的秩（负惯性指标为0）；

（3）的矩阵；

（4）矩阵的特征值非负.

5.半负定二次型等价定理：

设是实二次型，则下述四条等价：

（1）半负定；

（2）负惯性指数等于二次型的秩（正惯性指标为0）；

（3）的矩阵；

（4）矩阵的特征值非正

二、解题方法与典型例题

1.求二次型矩阵；

2.判断矩阵是否合同；

3.化二次型为标准形；

4.求二次型的规范型，先求其标准型，然后化为规范型；

5.判断复与实对称矩阵是否合同，主要是看其秩与惯性指标是否相等；

6.秩与符号差的讨论；

7.正定二次型（矩阵）的证明.

例1级复对称矩阵按合同分类共有多少类?

级实对称矩阵按合同分类共有多少类？

解级复对称矩阵按合同分类共有类，级实对称矩阵按合同分类共有类。

例2证明：

在复数域上合同，但在实数域上不合同.

证明在复数域上取，即得.而在实数域上对任意的可逆矩阵，的主对角线上元素是的行向量元素的平方和，不可能是-1.故不成立.

例3证明：

秩为的对称矩阵可以表示成个秩为1的对称矩阵之和.

证明设为秩为的矩阵，则存在可逆矩阵，使

，

令

则，其中为秩为1的矩阵.

例4化二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换.

解令

，

则,

所用的非退化的线性替换为

.

例5证明与合同，其中为可逆的对称矩阵.

证明因为

所以与合同.

例6，证明；存在，使.

证明设矩阵的秩为，则，

其中，显然，

因此.

例7令，证明；在实数域上合同，并且求一实可逆矩阵使.

解容易利用合同变换把化成与它们合同的标准型.然后求出可逆矩阵使.

例8证明：

任何一个级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一.

证明法一）由复对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩，于是对可逆的复对称矩阵如果是偶数级的合同于，如果是奇数级的则合同于

法二）对于

在复数域上

利用传递性，得证.

，只需考察即可.

例9证明：

一个级实可逆矩阵必合同于下列形式的矩阵之一

证明设实对称矩阵的正、负惯性指标分别是

当，与矩阵合同，于是与矩阵合同；

时

与合同，

与矩阵合同；

与合同

与合同.

例10取何值时，二次型

是正定的.

解二次型矩阵，

显然当时二次型正定.

例11判断下列二次型是否正定

（1）,

（2）.

解

（1）二次型矩阵的级主子式为

.

因此二次型不是正定、半正定的，也不是负定半负定的.

（2）二次型矩阵的级主子式为

，

所以二次型正定.

例12证明级实对称矩阵正定的充分必要条件是它的任意主子式全大于零.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.

证明充分性显然.往证必要性.设级对称矩阵正定，而为的任意主子式所对应的一个级矩阵，二次型，为正定，则对于任意不全为0的实数都有，从而对于任意不全为零的实数都有但对于文字为而矩阵为的二次型，显然是正定的，故的行列式大于0.

例13设是一个级正定矩阵，证明，等号成立的充要条件是为对角形矩阵.

证明设是一个级正定矩阵，首先我们证明二次型负定.

事实上，从而，所以负定.其次我们证明，其中是级顺序主子式.由于

其中.由于正定，从而正定.因此由上面证明可知.即.显然当的第一行第一列除外全为0时等号成立.

最后利用数学归纳法，就可以证明本题的结论.即，且等号成立的充要条件是为对角形矩阵.

测试题.

一、选择填空

1．是级反对称矩阵，对任意的维向量都有.

（A）；（B）；（C）等于0；（D）不确定.

2．实二次型可以分解为两个不成比例的实系数多项式，则它必有.

（A）秩为2；（B）秩为0；

（C）秩为2符号差为0；（D）秩为1.

3．二次型经非退化的线性替换化为，则它们的矩阵满足.

（A）等价；（B）存在,使；

（C）合同；（D）存在，使可逆）.

二、解答题

1.设为实对称方阵，证明，当充分小时，是正定的.

2.设是级复对称矩阵，证明存在复矩阵，使.

3.设是级实对称矩阵，证明，存在实数，使对任一维向量，都有

4.令，证明：

正定的充要条件是.

测试题参考答案

一、选择填空1.（C）；2.（C）；3.（A）（C）（D）.

二、解答题

1.证明由于对任意的正实数，成立，所以当充分小时充分大，利用北大高等代数教材习题知：

为正定矩阵.故是正定的.

2.证明设是级复对称矩阵，则存在可逆的复矩阵使

3.证明

，其中.

4.证明充分性：

令，则二次型

化为，容易计算线性替换的矩阵行列式等于，所以所给的线性替换是非退化的，因此二次型是正定的.

必要性若,则线性替换不是非退化的,因此存在不全为0的,使

故与正定矛盾,所以.