数值分析整理版试题及答案Word文档格式.doc

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若，则，，这样，有

解法方程，得到，，

例4、用的复合梯形和复合辛普森公式计算积分。

（1）用的复合梯形公式

由于，，，所以，有

（2）用的复合辛普森公式

由于，，，，所以，有

例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

先消元

再回代，得到，，

所以，线性方程组的解为，，

例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。

设

则由的对应元素相等，有

，，，

，，

，

因此，

解，即，得，，

１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。

　（　　　　　）

２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。

（　　　　　）

3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。

４、矩阵的２－范数＝９。

5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。

（用）（）

6、设，，且有（单位阵），则有。

（）

7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。

（）1、（　Ⅹ　）2、（　∨　）3、（Ⅹ　）4、（　∨　）5、（Ⅹ　）6、（∨　）7、（　Ⅹ　）8、（Ⅹ　）

一、判断题（10×

1′）

1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。

（×

）

2、解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

（?

3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

4、样条插值一种分段插值。

5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。

　　（?

7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。

8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。

9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

1.用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。

2.为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。

（对）

3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

复习试题

一、填空题：

1、，则A的LU分解为。

答案：

2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得。

2.367，0.25

3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。

-1，

4、近似值关于真值有

（2）位有效数字；

5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是（）；

答案

6、对,差商

（1）,（0）；

7、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；

8、用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a,b）内的根时，二分n次后的误差限为（）；

10、已知f

（1）＝2，f

（2）＝3，f（4）＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为（0.15）；

11、两点式高斯型求积公式≈（），代数精度为（5）；

12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A的各阶顺序主子式均不为零）。

13、为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。

14、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。

15、计算积分,取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。

16、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。

17、设,则，的二次牛顿插值多项式为。

18、求积公式的代数精度以（高斯型）求积公式为最高，具有（）次代数精度。

19、已知f

（1）=1,f（3）=5,f（5）=-3,用辛普生求积公式求≈（12）。

20、设f

（1）=1，f

（2）=2，f（3）=0，用三点式求（2.5）。

21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则

（1），（），当时（）。

26、改变函数（）的形式，使计算结果较精确。

27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。

29、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。

30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。

31、设,则9。

32、设矩阵的，则。

33、若，则差商3。

34、数值积分公式的代数精度为2。

35、线性方程组的最小二乘解为。

36、设矩阵分解为，则。

二、单项选择题：

1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。

A．A的各阶顺序主子式不为零B．

C．D．

2、设，则为（C）．

A．2B．5C．7D．3

3、三点的高斯求积公式的代数精度为（B）。

A．2B．5C．3D．4

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B）。

A．对称阵B．正定矩阵

C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零

5、舍入误差是（A）产生的误差。

A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值

C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值

6、3.141580是π的有（B）位有效数字的近似值。

A．6B．5C．4D．7

7、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差。

A．模型B．观测C．截断D．舍入

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A）。

A．控制舍入误差B．减小方法误差

C．防止计算时溢出D．简化计算

9、用1+近似表示所产生的误差是（D）误差。

A．舍入B．观测C．模型D．截断

10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效数字。

A．5B．6C．7D．8

11、设f（-1）=1,f（0）=3,f

（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（A）。

A．–0．5B．0．5C．2D．-2

12、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C）。

A．3B．4C．5D．2

13、（D）的3位有效数字是0.236×

102。

（A）0.0023549×

103（B）2354.82×

10－2（C）235.418（D）235.54×

10－1

14、用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程f（x）=0表示成x=?

（x），则f（x）=0的根是（B）。

（A）y=?

（x）与x轴交点的横坐标（B）y=x与y=?

（x）交点的横坐标

（C）y=x与x轴的交点的横坐标（D）y=x与y=?

（x）的交点

15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为（A）。

（A）－4（B）3（C）4（D）－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是（B）,牛顿插值多项式的余项是（C）。

（A）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（B）

（C）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（D）

17、等距二点求导公式f?

（x1）?

（A）。

18、用牛顿切线法解方程f（x）=0，选初始值x0满足（A）,则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f（x）=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（A）。

（A）

（C）

21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（　　）。

（1）,

（2）,（3）,（4）

22、在牛顿-柯特斯求积公式：

中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（　）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1），

（2），（3），（4），

23、有下列数表

x

0.5

1.5

2.5

f（x）

-2

-1.75

0.25

4.25

所确定的插值多项式的次数是（　　）。

（1）二次；

（2）三次；

（3）四次；

（4）五次

25、取计算，下列方法中哪种最好？

（　　　　）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　　　）

１

２

３

3.5

5.0

8.0

11.5

28、形如的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（　　　　）

29、计算的Newton迭代格式为（）

30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为（）

（A）10；

（B）12；

（C）8；

（D）9。

32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则（）

33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有（）次代数精度

（A）5；

（B）4；

（C）6；

（D）3。

35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是（）

36、由下列数据

3

-5

确定的唯一插值多项式的次数为（）

（A）4；

（B）2；

（C）1；

37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）

（A）8；

（B）9；

（C）10；

（D）11。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?

，否则打?

1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。

2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。

3、表示在节点x1的二次（拉格朗日）插值基函数。

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

5、矩阵A=具有严格对角占优。

四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。

迭代格式

k

2.7500

3.8125

2.5375

0.20938

3.1789

3.6805

0.24043

2.5997