数值分析整理版试题及答案Word文档格式.doc
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若,则,,这样,有
解法方程,得到,,
例4、用的复合梯形和复合辛普森公式计算积分。
(1)用的复合梯形公式
由于,,,所以,有
(2)用的复合辛普森公式
由于,,,,所以,有
例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
先消元
再回代,得到,,
所以,线性方程组的解为,,
例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
设
则由的对应元素相等,有
,,,
,,
,
因此,
解,即,得,,
1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。
( )
2、当时,Newton-cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
( )
3、形如的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
4、矩阵的2-范数=9。
5、设,则对任意实数,方程组都是病态的。
(用)()
6、设,,且有(单位阵),则有。
()
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的,且唯一。
()1、( Ⅹ )2、( ∨ )3、(Ⅹ )4、( ∨ )5、(Ⅹ )6、(∨ )7、( Ⅹ )8、(Ⅹ )
一、判断题(10×
1′)
1、若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求解。
(×
)
2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。
(?
3、若A为n阶方阵,且其元素满足不等式
则解线性方程组AX=b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
4、样条插值一种分段插值。
5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。
(?
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
1.用计算机求时,应按照从小到大的顺序相加。
2.为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。
(对)
3.用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。
4.用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关,与常数项无关。
复习试题
一、填空题:
1、,则A的LU分解为。
答案:
2、已知,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得。
2.367,0.25
3、,则过这三点的二次插值多项式中的系数为,拉格朗日插值多项式为。
-1,
4、近似值关于真值有
(2)位有效数字;
5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是();
答案
6、对,差商
(1),(0);
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为();
10、已知f
(1)=2,f
(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);
11、两点式高斯型求积公式≈(),代数精度为(5);
12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。
13、为了使计算的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为,为了减少舍入误差,应将表达式改写为。
14、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5,1,进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。
15、计算积分,取4位有效数字。
用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。
16、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。
17、设,则,的二次牛顿插值多项式为。
18、求积公式的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,具有()次代数精度。
19、已知f
(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求≈(12)。
20、设f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=0,用三点式求(2.5)。
21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分(10)次。
23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则
(1),(),当时()。
26、改变函数()的形式,使计算结果较精确。
27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分10次。
29、若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用477个求积节点。
30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式,迭代矩阵为,此迭代法是否收敛收敛。
31、设,则9。
32、设矩阵的,则。
33、若,则差商3。
34、数值积分公式的代数精度为2。
35、线性方程组的最小二乘解为。
36、设矩阵分解为,则。
二、单项选择题:
1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是(C)。
A.A的各阶顺序主子式不为零B.
C.D.
2、设,则为(C).
A.2B.5C.7D.3
3、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。
A.2B.5C.3D.4
4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件是(B)。
A.对称阵B.正定矩阵
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
5、舍入误差是(A)产生的误差。
A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
6、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
7、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。
A.模型B.观测C.截断D.舍入
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。
A.控制舍入误差B.减小方法误差
C.防止计算时溢出D.简化计算
9、用1+近似表示所产生的误差是(D)误差。
A.舍入B.观测C.模型D.截断
10、-324.7500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效数字。
A.5B.6C.7D.8
11、设f(-1)=1,f(0)=3,f
(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。
A.–0.5B.0.5C.2D.-2
12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。
A.3B.4C.5D.2
13、(D)的3位有效数字是0.236×
102。
(A)0.0023549×
103(B)2354.82×
10-2(C)235.418(D)235.54×
10-1
14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=?
(x),则f(x)=0的根是(B)。
(A)y=?
(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=?
(x)交点的横坐标
(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=?
(x)的交点
15、用列主元消去法解线性方程组,第1次消元,选择主元为(A)。
(A)-4(B)3(C)4(D)-9
16、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。
(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn),
(B)
(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn),
(D)
17、等距二点求导公式f?
(x1)?
(A)。
18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。
19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A)。
(A)
(C)
21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是( )。
(1),
(2),(3),(4)
22、在牛顿-柯特斯求积公式:
中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1),
(2),(3),(4),
23、有下列数表
x
0.5
1.5
2.5
f(x)
-2
-1.75
0.25
4.25
所确定的插值多项式的次数是( )。
(1)二次;
(2)三次;
(3)四次;
(4)五次
25、取计算,下列方法中哪种最好?
( )
(A);
(B);
(C);
(D)。
27、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是( )
1
2
3
3.5
5.0
8.0
11.5
28、形如的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为( )
29、计算的Newton迭代格式为()
30、用二分法求方程在区间内的实根,要求误差限为,则对分次数至少为()
(A)10;
(B)12;
(C)8;
(D)9。
32、设是以为节点的Lagrange插值基函数,则()
33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有()次代数精度
(A)5;
(B)4;
(C)6;
(D)3。
35、已知方程在附近有根,下列迭代格式中在不收敛的是()
36、由下列数据
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为()
(A)4;
(B)2;
(C)1;
37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()
(A)8;
(B)9;
(C)10;
(D)11。
三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打?
,否则打?
1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,的次数n可以任意取。
2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。
3、表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
5、矩阵A=具有严格对角占优。
四、计算题:
1、用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
迭代格式
k
2.7500
3.8125
2.5375
0.20938
3.1789
3.6805
0.24043
2.5997