1、若,则,这样,有解法方程,得到,例4、 用的复合梯形和复合辛普森公式计算积分。(1)用的复合梯形公式由于,所以,有(2)用的复合辛普森公式由于,所以,有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。先消元再回代,得到,所以,线性方程组的解为,例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。设则由的对应元素相等,有,因此,解,即,得,、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。()、当时,Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。()3、形如的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为。、矩阵的范数。5、设,则对任意实数,方程组都是病态的。(用)()6、设,
2、且有(单位阵),则有。()7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的,且唯一。()1、()2、()3、()4、()5、()6、()7、()8、()一、 判断题(101)1、 若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组AXb一定可以使用高斯消元法求解。()2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。(?3、 若A为n阶方阵,且其元素满足不等式则解线性方程组AXb的高斯塞德尔迭代法一定收敛。4、 样条插值一种分段插值。5、 如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。(?7
3、、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。1. 用计算机求时,应按照从小到大的顺序相加。2. 为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。(对)3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。4. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关,与常数项无关。复习试题一、填空题:1、,则A的LU分解为。答案
4、:2、已知,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得。2.367,0.253、,则过这三点的二次插值多项式中的系数为,拉格朗日插值多项式为。-1,4、近似值关于真值有(2)位有效数字;5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是();答案6、对,差商(1),(0);7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为();10、已知f(1)2,f(2)3,f(4)5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);11、 两点式高斯型求积公式(),代数精度为(5);12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满
5、足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、 为了使计算的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为,为了减少舍入误差,应将表达式改写为。14、 用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为0.5,1,进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。15、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。16、 求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。17、 设,则,的二次牛顿插值多项式为。18、 求积公式的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,
6、具有()次代数精度。19、 已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求(12)。20、 设f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0,用三点式求(2.5)。21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分(10)次。23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则(1),(),当时()。26、改变函数()的形式,使计算结果较精确。27、若用二分法求方程在区间1,2内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分10次。29、若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用477个求积节点。30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式,迭代矩
7、阵为,此迭代法是否收敛收敛。31、设,则9。32、设矩阵的,则。33、若,则差商3。34、数值积分公式的代数精度为2。35、 线性方程组的最小二乘解为。36、设矩阵分解为,则。二、单项选择题:1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是(C)。AA的各阶顺序主子式不为零BCD2、设,则为(C)A2B5C7D33、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A2B5C3D44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件是(B)。A对称阵B正定矩阵C任意阵D各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是(A)产生的误差。A. 只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C观察与测量D数学模型准确值与
8、实际值6、3.141580是的有(B)位有效数字的近似值。A6B5C4D77、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A模型B观测C截断D舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A控制舍入误差B减小方法误差C防止计算时溢出D简化计算9、用1+近似表示所产生的误差是(D)误差。A舍入B观测C模型D截断10、-3247500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效数字。A5B6C7D811、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A05B05C2D-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A3B4C5D213、(D)的3位有
9、效数字是0.236102。(A)0.0023549103(B)2354.82102(C)235.418(D)235.5410114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=?(x),则f(x)=0的根是(B)。(A)y=?(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=?(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=?(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组,第1次消元,选择主元为(A)。(A)4(B)3(C)4(D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(
10、xxn1)(xxn),(B)(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(D)17、等距二点求导公式f?(x1)?(A)。18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A)。(A)(C)21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1),(2),(3),(4)22、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应
11、用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1),(2),(3),(4),23、有下列数表x0.51.52.5f(x)-2-1.750.254.25所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次25、取计算,下列方法中哪种最好?()(A);(B);(C);(D)。27、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是()3.55.08.011.528、形如的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()29、计算的Newton迭代格式为()30、用二分法求方程在区间内的实根,要求误差限为,则对分次数至少为()(A)10;(B)12;(C)8;(D)
12、9。32、设是以为节点的Lagrange插值基函数,则()33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有()次代数精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。35、已知方程在附近有根,下列迭代格式中在不收敛的是()36、由下列数据3-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4;(B)2;(C)1;37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打?,否则打?1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,的次数n可以任意取。2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。5、矩阵A=具有严格对角占优。四、计算题:1、 用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代四次(要求按五位有效数字计算)。迭代格式k2.75003.81252.53750.209383.17893.68050.240432.5997
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