人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析（共五套）Word文件下载.docx

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5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．135°

6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cosC＝c（2cosB﹣cosA），△ABC的面积为a2sin，则C＝（　　）

7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（　　）

A．直线B1C与直线AC所成的角为60°

B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°

C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°

D．直线B1C与直线AB所成的角为90°

8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（　　）

A．6π B．8π C．12π D．16π

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（　　）

10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°

，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

11.下列说法正确的有（　　）

A．任意两个复数都不能比大小

B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0

C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0

D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3

12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（　　）

A．

B．

C．向量与向量的夹角是60°

D．异面直线EF与DD1所成的角为45°

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝　　；

•＝　　．

14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝　　．

15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'

的位置，当A'

C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　　．

16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．

（1）若AB＝，求BC；

（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．

18.

（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．

（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．

19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．

（1）若a＝1.5，问：

观察者离墙多远时，视角θ最大？

（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．

20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．

（Ⅰ）求D点对应的复数；

（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．

21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°

．

（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；

（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．

22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．

（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；

（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．

参考答案

【答案】D

【分析】根据共线向量的定义即可得结论．

【解答】解：

由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，

＝3＝﹣3，所以选项A错误；

＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．

故选：

D．

【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．

∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，

∴z（3+i）＝4，∴z＝，

∴＝，

∴共轭复数的虚部为，

【知识点】复数的运算

【答案】C

【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．

由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°

，AD＝2AB＝2，

延长AB至点E，且AB＝BE，

可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，

所以•＝（）•（﹣2）

＝﹣2﹣2＝1．

C．

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

【答案】B

【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．

设S＝2i+3i2+4i3+……+2020i2019．

∴iS＝2i2+3i3+……+2020i2020．

则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．

＝＝i+

＝＝﹣2021+i，

∴S＝＝．

B．

【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．

因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，

因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°

【知识点】异面直线及其所成的角

【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sinB＝2sinA；

然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．

由正弦定理知，＝＝，

∵（a﹣2b）cosC＝c（2cosB﹣cosA），

∴（sinA﹣2sinB）cosC＝sinC（2cosB﹣cosA），

即sinAcosC+sinCcosA＝2（sinBcosC+cosBsinC），

∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sinB＝2sinA．

∵△ABC的面积为a2sin，

∴S＝bcsinA＝a2sin，

根据正弦定理得，sinB•sinC•sinA＝sin2A•sin，

化简得，sinB•sincos＝sinA•cos，

∵∈（0，），∴cos＞0，

∴sin＝＝，

∴＝，即C＝．

【知识点】正弦定理、余弦定理

【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；

连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；

利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．

连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°

，即直线B1C与AC所成的角为60°

，故选项A正确；

连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，

∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，

设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，

则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；

连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°

，故选项C正确；

∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°

，故选项D正确．

【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角

【答案】A

【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得VABCDEF＝VC﹣EFBD+VA﹣EFBD＝2VA﹣EFBD，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．

设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，

因为正方形