弹塑性力学-第8章能量原理及其应用Word文档下载推荐.doc

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若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。

物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。

令物体在变形过程中的动能为E，应变能为U，则在微小的时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为

（a）

其中，为作用于物体上的体力和面力所完成的功；

是物体由其周围介质所吸收（或向外发散）的热量，并以等量的功度量。

假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有

（b）

将式（b）代入式（a），则有

（8.1-1）

1.2应变能

由第四章的式（4.1-5b）知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为

（8.1-2）

对于一维应力状态，在平面内，则

实际上就是应力应变曲线与轴和所

围成的面积（图8.1），即

（8.1-3）

其中是物体变形过程某一指定时刻的应变，应图8.1应变能与应变余能

变能表示物体在变形过程中所储存的能量。

1.3应变余能

在图8.1中,如果令表示应力应变曲线与轴和所围成的面积，即

（8.1-4）

式中是物体变形过程某一指定时刻的应力。

称为单位体积的应变余能，简称余能，有时又称其为应力能。

由于和是物体变形过程中同一时刻的应力和应变，因此有

由此可见，与互补或互余对方为矩形的面积。

显然，在线弹性情况下有，即余能与应变能在数值上相等。

尽管应变余能不像应变能那样具有明确的物理意义，但引入应变余能这一概念后，使讨论问题的范围扩大了。

8.2虚位移原理与最小势能原理

2.1虚位移原理

设有变形体在外力作用下处于平衡状态。

此处，外为包括体力分量，，及一部分表面的面力分量，，。

假如有一组位移分量，既能满足用位移表示的平衡方程，又能满足位移边界条件以及用位移分量表示的应力边界条件。

现在设想在变形体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小变化，即所谓虚位移或位移变分，，，得到一组新的位移

（a）

下面考察能量发生了什么变化。

这时，外力在虚位移上所做的功（称为虚功）为

（8.2-1a）

或

（8.2-1b）

式中，为变形体的全部体积，为变形体的全部表面积，其中给定外力的表面记为，给定位移的表面记为露。

但面积分仅对给定面力的那一部分表面进行，对于给定位移的那一部分表面，因无虚位移，故不必考虑。

应该指出，这里所说的虚位移—般并不是由实际外力所引起的，而是由其他因素所引起，或者是为了分析问题而假想的。

虚位移发生时，约束反力是不作功的，这是因为在约束力方向不可能产生位移。

物体产生虚位移的过程中，物体必然产生微小的虚变形，因此在变形体中就产生虚应变能，即

（8.2-2a）

或写为

（8.2-2b）

假定变形体在虚位移的过程中，并没有温度和速度的改变，因而也就没有热能和动能的改变。

则按照能量守恒定律或热力学第一定律，应变能在虚位移上的增量，应当等于外力在虚位移所做的虚功，于是有

（8.2-3）

式（8.2-3）即为虚位移原理的位移变分方程，也称为拉格朗日（Lagrange）变分方程，有时也称为虚功方程。

因此，虚位移原理可叙述为：

在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等于物体的虚应变能。

现详细证明如下：

若在虚位移原理的变分方程（8.2-3）中，因给定位移的部分表面上，而在给定面力的部分表面上，边界条件成立。

则式（8.2-3）中右边对的积分可以写为对整个物体表面的积分，即有

（8.2-4）

运用高斯散度定理，将上式对体积积分化为面积分，有

（8.2-5）

其中为外边界法线方向单位矢量ｎ的方向余弦，即

ｎ，ｎ，ｎ

注意到

以及

其余的类似，因此由以上两式可得

（8.2-6）

式中。

将式（8.2-6）代入式（8.2-4），有

（b）

当物体处于平衡状态时，因为

所以式（b）中笫一项积分为零。

又因

所以有

于是由式（b）得

将上式与式（8.2-2b）比较可知，有

以上证明说明，当给予系统微小虚位移时，外力所作虚功与物体的虚应变能相等是物体处于平衡状态的必要条件。

另外，由应变位移关系以及先变分后微分与先微分后变分等价可知

（c）

将式（c）代入（8.2-2a），经分部积分和利用格林公式，可得到如同下列形式的三个关系式

（d）

以及下列形式的三个关系式

（e）

将式（d）、（e）所表示构六个关系式代人（8.2-2）式，则得

（f）

将式（f）代入式（8.2-3），并加以整理，得

因为虚位移各自独立，而且是完全任意的，因此上列积分式中括弧内的系数均等于零，这样我们得到三个平衡方程和三个静力边界条件。

因而证明是物体处于平衡状态的充分条件。

从以上讨沦可知，虚位移原理变分方程（8.2-3）式等价于平衡方程与应力边界条件。

因此，满足变分方得（8.2-3）式的解就一定满足平衡方程和应力边界条件。

所以，虚位移原理也可表述为：

变形连续体平衡的必要与充分条件是，对于任意微小虚位移，外力所做虚功等于变形体所产生的虚变形能。

应当指出，式（8.2-3）等号左边表示，由于产生虚位移而引起物体内产生了虚应变能。

这种虚位移实际上应理解为真实位移的变分，而不是其他随便—种位移函数。

也就是说。

式（8.2-3）中的虚应变不是别的什么虚应变，而是由引起的，即它们之间满足下列条件

（8.2-7）

此外，位移在己知位移边界上还应满足，因此在己知位移边界上虚位移应为零，即

（8.2-8）

式（8.2-7）和（8.2-8）为方程（8.2-3）式的附加条件。

因此，在应用虚位移方程式（8.2-3）时，所选取的解不必预先满足平衡力程和应力边界条件，但要求所给虚位移能满足附加条件（8.2-7）式和（8.2-8）式，即应满足变形协调条件和几何边界条件。

应当指出，由于虚位移原理的成立与材料本构关系无关，因此，虚位移原理既适用于线弹性体、非线性弹性体，也适用于弹塑性体和理想塑料体等固体材料。

例8.1如图8.2所示跨长为，抗弯刚度为，受分布荷重作用的简支梁，试用虚位移原理写出梁的挠曲线微分方程和边界条件。

解:

梁在平衡状态时，如果产生一虚

位移，由虚位移原理

（1）

此处

（2）

由材料力学知，有图8.2受均布荷重简支梁

（3）

根据变分法则知

（4）

将式（3）、（4）代入式

（2）并整理后，得

对上式进行两次分布积分后，可化为

（5）

外力所做虚功为

（6）

将式（5）、（6）代入式

（1），则得

（7）

由于在支座处的虚位移应满足简支条件要求，所以边界条件为

考虑的任意灶，于是要使式（7）成立，必有

（8）

式（8）即为该梁的挠曲线微分方程。

例8.2如图8.3所示受均布荷重的简支梁，抗弯刚度为，跨中由弹性支座支承，试写出梁的边界条件和挠曲线微分方程。

解﹕由例8.1知，变形能经两次分部积分后为

图8.3受均布荷重简支梁令弹簧内的反力为，则外力功为

（9）

式中为梁在弹性支座处的挠度。

因，因此可由以上两式得

（10）

于是，由式（10）可知，根据简支条件和对称条件，边界条件应为

同时，考虑到除弹性支座处外，均为任意性，要使式（10）成立，必有

挠曲函数必须满足

及

。

2.2最小势能原理

从位移变分方程（8.2-3）出发，可以导出虚功方程。

假定物体从平衡位置有微小虚位移，物体的几何尺寸的变化略去不计，则原来作用在物体上的体力和面力的大小与方向都保持不变。

于是，按照变分原理，式（8.2-3）中变分的运算与积分的运算可以交换次序，故有

（g）

由第四章的（4.1-5a）知，有

在式（g）