第二章 概 率复习与小结 学案高中数学选修23 北师大版文档格式.docx

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xi

P

P1

P2

Pi

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

（2）分布列的两个性质：

任何随机事件发生的概率都满足:

，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即

4．常见的离散型随机变量的分布

（1）两点分布

概率分布为（其中0<

p<

1）

1

1－p

p

（2）二项分布

在n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n，并且P（ξ＝k）＝C

pkqn－k（其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p）．

显然P（ξ＝k）≥0（k＝0,1,2，…，n），

C

pkqn－k＝1.

称这样的随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为ξ～B（n，p）．

（3）、超几何分布

在产品质量的不放回抽检中，若

件产品中有

件次品，抽检

件时所得次品数X=m

则

.此时我们称随机变量X服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n

5．条件概率

在A发生的条件下B发生的概率：

P（B|A）＝

.

6．相互独立事件同时发生的概率

P（AB）＝P（A）P（B）．

7．独立重复试验

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为

Pn（k）＝C

pk（1－p）n－k，k＝0,1,2，…，n.

8．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量ξ的概率分布为

xn

p1

p2

pn

则称E（ξ）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为ξ的均值或数学期望．

＝

＋

＋…＋

＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，

9、正态分布

1）我们称

的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．（式中的实数

、

是参数，分别表示总体的平均数与标准差）

2）一般地，如果对于任何实数

，随机变量X满足

则称X的分布为正态分布．正态分布完全由参数

和

确定，因此正态分布常记作

．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～

.

3）正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

在正态曲线下方和

轴上方范围内的区域面积为1．

（2）曲线关于直线x=μ对称

（3）当x=μ时，曲线位于最高点

（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；

当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：

五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学

【典型例题】

题型一　相互独立事件和独立重复试验

例1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；

每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？

分析：

（1）第

（1）问先求其对立事件的概率．

（2）第

（2）问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式．

（3）第（3）问中，甲恰好射击5次被中止，可分为前3次击中后两次未击中和前2次有一次未击中，第3次击中，后两次未击中两种情况．

变式训练1某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：

从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；

否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．求：

（1）该盒产品被检验合格的概率；

（2）若对该盒产品分别进行两次检验，则两次检验得出的结果不一致的概率．

题型二　随机变量的概率分布、均值和方差

例2　甲，乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜），若每一局比赛甲获胜的概率为

，乙获胜的概率为

，现已赛完两局，乙暂时以2∶0领先．

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设比赛结束时比赛的局数为随机变量ξ，求随机变量ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．

变式训练2某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：

若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是

，

.两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．

（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；

（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用ξ表示甲的总得分，求ξ的概率分布和数学期望．

例3某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.

对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．

变式训练3

在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于

的是（　　）

A．P（X＝2）B．P（X≤2）

C．P（X＝4）D．P（X≤4）

题型三　随机变量及概率分布的综合应用

例4图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：

吨）的频率分布直方图

（Ⅰ）求直方图中x的值；

（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.

以实际生活为背景，考查频率分布直方图的认识，进而考查分布列和期望等统计知识.频率分布直方图→矩形的面积表示频率反映概率；

随机抽取3位居民（看作有放回的抽样）是三个独立重复实验→计算概率时遵循贝努力概型.

例5某车间甲组有10名工人，其中有4名女工，乙组有5名工人，其中有3名女工，现采用分层抽样方法，从甲乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．

（1）求从甲乙两组各抽取的人数；

（2）求从甲组抽取的2人中恰有1名女工的概率；

（3）用X表示抽取的3名工人中男工人数，求X的概率分布及数学期望．

例6设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.

（1）记“使得m＋n＝0成立的有序数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；

（2）设ξ＝m2，求ξ的概率分布及其数学期望E（ξ）．

题型三正态分布

例7．生产工艺工程中产品的尺寸偏差

，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于

的概率．

（精确到0.001）．

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【规律方法总结】

1．互斥事件与对立事件

互斥事件强调两个事件不可能同时发生，即在一次试验中两个互斥事件可以都不发生．两事件是对立事件，则它们一定互斥，且在一次试验中两对立事件有且只有一个发生，反过来，两事件互斥，但不一定对立．故两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件，对立事件是特殊的互斥事件．

2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法

（1）理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值．

（2）求ξ取每个值的概率．（3）写出ξ的概率分布．（4）由期望的定义求E（ξ）．（5）由方差的定义求V（ξ）．

课堂练习

一、选择题

1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（　　）

Ａ．第一次出现的点数

Ｂ．第二次出现的点数

Ｃ．两次出现点数之和

Ｄ．两次出现相同点的种数

2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么

为（　　）

Ａ．恰有1只坏的概率

Ｂ．恰有2只好的概率

Ｃ．4只全是好的概率

Ｄ．至多2只坏的概率

3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则

等于（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（　　）

5．设

，则

Ａ．1.6Ｂ．3.2Ｃ．6.4Ｄ．12.8

6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（　　）

Ａ．0.998Ｂ．0.046Ｃ．0.002Ｄ．0.954

7．设

落在

内的概率是（　　）

8．设随机变量X的分布列如下表，且

（　　）

2

3

0．1

Ａ．0.2Ｂ．0.1Ｃ．

9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（　　）

10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX的值为（　　）

Ａ．4Ｂ．4.5Ｃ．4.75Ｄ．5

11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：

甲、乙获胜的机会是（　　）

Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定

12．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；

节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布：

200

300

400

500

0．20

0．35

0．30

0．15

若进这种鲜花500束，则利润的均值为（　　）

Ａ．706元Ｂ．690元Ｃ．754元Ｄ．720元

二、填空题

13．事件

相互独立，若

　　　．

14．设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若

等于　　　　．

15．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是　　　　．

16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；

一旦失败，一年后将丧失全部资金的