五年中考荟萃版中考数学专题5阅读理解问题含答案.docx
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五年中考荟萃版中考数学专题5阅读理解问题含答案
专题五阅读理解问题
一、填空题
1．（2015·湖南株洲，16，4分）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S＝a＋
－1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是_____，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是_____．
解析 如题图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1＋
－1；
矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2＋
－1；
∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a；
题图2中，a＝15，b＝7，故S＝15＋
－1＝17.5.
答案 a 17.5
2．（2015·四川资阳，16，4分）已知抛物线p：
y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为________．
解析 ∵y＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2，
∴A点坐标为（－1，0），
解方程组
得
或
∴点C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C（1，－4），
设原抛物线解析式为y＝a（x－1）2－4，
把A（－1，0）代入得4a－4＝0，解得a＝1，
∴原抛物线解析式为y＝（x－1）2－4＝x2－2x－3.
答案 y＝x2－2x－3
二、解答题
3．（2015·浙江绍兴，21，10分）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：
请你写出一条定点抛物线的一个解析式，小敏写出了一个答案：
y＝2x2＋3x－4.请你写出一个不同于小敏的答案．
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：
已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
解
（1）不唯一，如y＝x2－2x＋2.
（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c＋b2＋1），且－1＋2b＋c＋1＝1，∴c＝1－2b，
∵顶点纵坐标c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝（b－1）2＋1，
∴当b＝1时，c＋b2＋1最小，
抛物线顶点纵坐标的值最小；
此时c＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.
4．（2015·浙江温州，20，8分）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，如何计算它的面积？
奥地利数学家皮克（G.Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：
S＝a＋
b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a＝4，b＝6，S＝4＋
×6－1＝6.
（1）请在图甲中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积；
（2）请在图乙画一个格点三角形，使它的面积为
，且每条边上除顶点外无其它格点．
解
（1）画法不唯一，如图①或图②，面积分别为9，5.
（2）画法不唯一，如图③，图④等．
5．（2015·浙江宁波，24，10分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．
（1）在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；
（2）利用
（1）中的格点多边形确定m，n的值．
解
（1）答案不唯一
（2）三角形：
a＝4，b＝6，S＝6；
平行四边形：
a＝3，b＝8，S＝6；菱形：
a＝5，b＝4，S＝6；
任选两组数据代入S＝ma＋nb－1，解得m＝1，n＝
.
6．（2015·浙江杭州，19，8分）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
解 因为OA′·OA＝16，且OA＝8，所以OA′＝2，
同理可知，OB′＝4，即B点的反演点B′与B重合．
设OA交⊙O于点M，连结B′M.
因为∠BOA＝60°，OM＝OB′，所以△OB′M为正三角形，
又因为点A′为OM的中点，
所以A′B′⊥OM.
根据勾股定理，得：
OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，解得：
A′B′＝2
.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．（2012·浙江嘉兴，9，4分）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”．如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 从1，3，4，5中任选两数共有12种可能情况，其中属于“V数”的有6种可能情况，
百位数字
个位数字
1
3
4
5
1
1，3
1，4
1，5
3
3，1
3，4
3，5
4
4，1
4，3
4，5
5
5，1
5，3
5，4
所以从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是
，故选C.
答案 C
2．（2013·山东潍坊，12，3分）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若[
]＝5，则x的取值可以是（ ）
A．40B．45C．51D．56
解析 法一 ∵将x＝40代入[
]得[
]＝4，选项A错误；将x＝45代入[
]得[
]＝4，选项B错误；将x＝51代入[
]得[
]＝5，选项C正确；将x＝56代入[
]得[
]＝6，选项D错误．故选C.
法二 由[
]＝5得
解得46≤x＜56，故选C.
答案 C
二、填空题
3．（2014·山东德州，17，4分）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，….将抛物线y＝x2沿直线L：
y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：
y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…An，…，则顶点M2014的坐标为（________________）．
解析 ∵抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：
y＝x上，∴设平移后的抛物线为y＝（x－m）2＋m，由题意可知抛物线y＝（x－m）2＋m经过点A2014（2014，20142），∴20142＝（2014－m）2＋m，解得m＝4027或m＝0（不合题意舍去），∴M2014（4027，4027），故答案为：
（4027，4027）．
答案 （4027，4027）
4．（2014·北京，22，5分）阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．
图1 图2
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：
∠ACE的度数为________，AC的长为________．
图3
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，BC的长为________．
解析 ∵CE∥AB，∴∠BAC＋∠ACE＝180°.
∵∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，
∴∠ACE＝180°－∠BAC＝180°－75°－30°＝75°，∠E＝∠BAD＝75°，
∴∠E＝∠ACE，
∴AC＝AE.
∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴
＝
.
∵BD＝2DC，∴AD＝2ED.
∵AD＝2，∴ED＝1，∴AC＝AE＝AD＋ED＝
2＋1＝3.
过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠BAC＝90°，∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE.
∴
＝
＝
＝2，
∴EF＝1，AF＝AE＋EF＝3.
∵∠CAD＝30°，∴DF＝AF·tan30°＝
，AD＝2DF＝2
.
∵∠ADC＝75°，∴∠ACD＝180°－∠ADC－∠CAD＝75°.
∴AD＝AC，∴AC＝2
.
∵
＝2，∴AB＝2
.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝
＝2
.
答案 75° 2
2
5．★（2013·山东菏泽，12，3分）我们规定：
将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是________（写出1个即可）．
解析 如图，
（1）等边三角形的高AD是它的一条面径，AD＝
×2＝
；
（2）当EF∥BC时，EF为它的一条面径，此时，
＝
，解得EF＝
.
所以，它的面径长可以是
，
.
答案
或
三、解答题
6．（2014·安徽，22，12分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1，和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值．
解
（1）答案不唯一，如顶点是原点，开口向上的二次函数，y＝x2和y＝2x2；
（2）把点A（1，1）坐标代入到y1＝2x2－4mx＋2m2＋1中，
得2×12－4m×1＋2m2＋1＝1，
解得m＝1.
∴y1＝2x2－4x＋3，
∵y1＋y2＝2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5＝（a＋2）x2＋（b－4）x＋8，
又∵y1＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1，其顶点为（1，1），且y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴
解得
∴y2＝5x2－10x＋5＝5（x－1）2，
当x≥1时，y随x的增大而增大，当x＝3时，y＝5×（3－1）2＝20，
当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝5×（0－1）2＝5，
故当0≤x≤3时，y2的最大值是20.
7．（2012·浙江绍兴，21，10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：
到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：
如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：
如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝
AB，求∠APB的度数．
探究：
已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
解 应用：
若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC.
∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴∠PBD＝∠PBC
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