新人教版八年级数学(上)三角形(三)——边、角关系及有关的证明Word格式.doc
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方法(设a、b、c为三边的长)
①若a+b>c,a+c>b,b+c>a都成立,则以a、b、c为三边的长可构成三角形;
②若c为最长边且a+b>c,则以a、b、c为三边的长可构成三角形;
③若c为最短边且c>|a-b|,则以a、b、c为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a、b,求第三边x的范围:
|a-b|<x<a+b。
例题讲解
例题1、已知:
如图△ABC中AG是BC中线,AB=5cmAC=3cm,则△ABG和△ACG的周长的差为多少?
△ABG和△ACG的面积有何关系?
例题2、三角形的角平分线、中线、高线都是( )
A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对
例题3、三角形三条高的交点一定在( )
A、三角形的内部 B、三角形的外部
C、顶点上 D、以上三种情况都有可能
例题4、直角三角形中高线的条数是( )
A、3 B、2 C、1 D、0
例题5、现有10cm的线段三条,15cm的线段一条,20cm的线段一条,将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形?
例题6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形?
(1)3cm4cm6cm
(2)4cm4cm6cm
(3)7cm7cm7cm(4)3cm3cm 7cm
例题7、已知△ABC中,a=6,b=14,则c边的范围是
自主练习
1、下列条件中能组成三角形的是( )
A、5cm,7cm,13cm B、3cm,5cm,9cm
C、6cm,9cm,14cm D、5cm,6cm,11cm
2、等腰三角形的周长为16,且边长为整数,则腰与底边分别为( )
A、5,6 B、6,4 C、7,2 D、以上三种情况都有可能
3、一个三角形两边分别为3和7,第三边为偶数,第三边长为( )
A、4,6 B、4,6,8 C、6,8 D、6,8,10
4、已知等腰三角形一边长为24cm,腰长是底边的2倍。
求这个三角形的周长。
5、三角形的两边为3cm和5cm,则第三边x的范围是
6、如果三角形的两边长分别为7和2,且它的周长为偶数,那么第三边的长为
7、长度分别为12cm,10cm,5cm,4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
8、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是( )
A、5,9,3 B、5,7,3 C、5,2,3 D、5,8,3
9、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm,则它的周长是______cm。
10、已知:
△ABC的周长为11,AB=4,CM是△ABC的中线,△BCM的周长比△ACM的周长大3,求BC和AC的长。
知识点二、三角形角的关系
定理:
三角形三个内角的和等于180°
。
推论1:
直角三角形的两个锐角互余。
推论2:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
例题精讲
例1、已知:
如图02-13△ABC中,∠C=90°
,∠BAC,∠ABC的平分线AD、BE交于点O,求:
∠AOB的度数。
例2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°
,则∠EDC=______.
例3.一个零件的形状如图7-2-2-6所示,按规定∠A应等于90°
,∠B、∠D应分别是30°
和20°
,李叔叔量得∠BCD=142°
,就断定这个零件不合格,你能说出道理吗?
例4.
(1)如图7-2-2-7
(1),求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;
(2)如图7-2-2-7
(2),求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
专题检测
1、直角三角形的两个锐角相等,则每一个锐角等于 度。
2、△ABC中,∠A=∠B+∠C,这个三角形是 三角形。
3、国旗上的五角星中,五个锐角的和等于 度。
4、已知,在△ABC中与最大的内角相邻的外角是120°
,则这个三角形一定是( )
A、不等边三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形
5、一个三角形有一外角是88°
,这个三角形是( )
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定
6、已知△ABC中,∠A为锐角,则△ABC是( )
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定
7、已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形( )
A、是锐角三角形 B、是直角三角形 C、是钝角三角形 D、以上三种都有可能
8.△ABC中,若∠C-∠B=∠A,则△ABC的外角中最小的角是______(填“锐角”、“直角”或“钝角”).
9.如图1,x=______.
(1)
(2)(3)
10.如图2,△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上一点,延长CA到E,连EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是_________.
11.如图3,在△ABC中,AE是角平分线,且∠B=52°
,∠C=78°
,求∠AEB的度数.
12.如图,在△ABC中,∠A=60°
,BD、CE分别是AC、AB上的高,H是BD、CE的交点,求∠BHC的度数.
知识点三、与三角形有关的证明
例1.如图,已知,∠C=∠DAE,∠B=∠D,那么AB与DF平行吗?
为什么?
例2.如图,△ABC中,∠1与∠A有什么关系?
例3.如图,CD是△ABC中∠ACB的外角平分线,请猜测∠BAC和∠B的大小关系,并说明理由.
例4.如图,已知P是△ABC内任意一点,求证:
PB+PC<AB+AC。
例5.已知P是△ABC内任意一点,试说明AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA)的理由.
课堂练习:
1.如图,D是△ABC中BC边上一点,DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明,AD是△ABC的角平分线.
2.已知,如图,在中,O是高AD和BE的交点,观察图形,试猜想∠C和∠DOE之间具有怎样的数量关系,并论证你的猜想.
3.如图,∠1=20°
,∠2=25°
,∠A=35°
,求∠BDC的度数。
4.在△ABC中,E是AC延长线上的一点,D是BC上的一点,下面的命题正确吗?
若正确,请说明理由。
⑴∠1=∠E+∠A+∠B;
⑵∠1>∠A.
5.如图,已知点P在△ABC内任一点,试说明∠A与∠P的大小关系,并证明之。
6.如图,已知△ABC与△DEF是一副三角形的拼图,A,E,C,D在同一条直线上,
(1)求证:
EF∥BC;
(2)求∠1与∠2的度数。
提高训练
1.如图,∠ECF=900,线段AB的端点分别在CE和CF上,BD平分∠CBA,并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D,
(1)∠D与∠C有怎样的数量关系?
(直接写出关系及大小)
(2)点A在射线CE上运动,(不与点C重合)时,其它条件不变,
(1)中结论还成立吗?
说说你的理由。
2.思考题:
(1)如图1,有一块直角三角形XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中,∠A=30°
,则∠ABC+∠ACB=_______,∠XBC+∠XCB=_______.
(2)如图2,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?
若变化,请举例说明;
若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小.
(1)
(2)
3.如图1,在△ABC中,AEBC于E,AD为∠BAC的平分线。
(1)∠B=500,∠C=700,求∠DAE的度数;
(2)若∠C>
∠B,则∠DAE与∠C-∠B有怎样的数量关系?
说明理由;
(3)若点A在AD上移动到点F,FEBC于E,其它条件不变,那么∠EFD与∠C、∠B是否还有
(2)中的结论?
试说明理由。
(如图2)
4.如图,在△ABC中,内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P,AP交BC于D,过B作BGAP于G.
(1)若GBP=450,求证:
ACBC;
(2)在图上作出△PDC在PC边的高DH,并探究∠APB和∠HDC的数量关系,并说明理由。
5.已知:
如图,在△ABC中有D、E两点,求证:
BD+DE+EC<AB+AC.