高三数学课堂训练 函数的单调性与最值Word文件下载.docx

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C．（－∞，－1]D．[1，＋∞）

设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在（－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增．所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．

3．函数y＝

的值域为（　　）

A．（－∞，1）B.

C.

D.

因为x2≥0，所以x2＋1≥1，即

∈（0,1]，故y＝

∈

.

C

4．函数y＝f（x）在[0,2]上单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，则下列结论成立的是（　　）

A．f

（1）<

f

B．f

f

（1）<

C．f

f

（1）D．f

f

（1）

因为f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（x）＝f（4－x），所以f

＝f

，f

.又0<

1<

2，f（x）在[0,2]上单调递增，所以f

，即f

5．已知f（x）＝

是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B.

当x＝1时，loga1＝0，若f（x）为R上的减函数，则（3a－1）x＋4a>

0，在x<

1时恒成立，令g（x）＝（3a－1）x＋4a，则必有

即

解得

≤a<

.此时，logax是减函数，符合题意．

6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）内单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f（log

a）≤2f

（1），则a的取值范围是（　　）

A．[1,2]B.

D．（0,2]

∵f（log

a）＝f（－log2a）＝f（log2a），∴原不等式可化为f（log2a）≤f

（1）．又f（x）在区间[0，＋∞）内单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f（x）是偶函数，∴f（log2a）≤f（－1）．又f（x）在区间（－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴

≤a≤1.综上可知

≤a≤2.

二、填空题

7．已知函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，若f（a2－a）>

f（a＋3），则实数a的取值范围为________．

由已知可得

解得－3<

a<

－1或a>

3.所以实数a的取值范围为（－3，－1）∪（3，＋∞）．

（－3，－1）∪（3，＋∞）

8．已知函数f（x）＝

则f（x）的最小值是________．

当x≥1时，x＋

－3≥2

－3＝2

－3，当且仅当x＝

，即x＝

时等号成立，此时f（x）min＝2

－3<

0；

当x<

1时，lg（x2＋1）≥lg（02＋1）＝0，此时f（x）min＝0.所以f（x）的最小值为2

－3.

2

－3

9．已知函数f（x）＝e|x－a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．

令t＝|x－a|，则t＝|x－a|在区间[a，＋∞）上单调递增，而y＝et为增函数，所以要使函数f（x）＝e|x－a|在[1，＋∞）上单调递增，则需a≤1，所以a的取值范围是（－∞，1]．

（－∞，1]

10．已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f

（1）＝1，当x1，x2∈[－1,1]，且x1＋x2≠0时，有

>

0.若f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是________________________________________________________________________．

用－x2替换x2，得

0，由于f（x）是奇函数，所以

0，等价于函数f（x）是定义域上的增函数，所以f（x）max＝f

（1）＝1.不等式f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈[－1,1]恒成立，即m2－2am＋1≥1对任意a∈[－1,1]恒成立，即2ma－m2≤0对任意a∈[－1,1]恒成立．令g（a）＝2ma－m2，则只需

即可，解得m≤－2或m≥2或m＝0，故所求的m的取值范围是（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）．

（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）

三、解答题

11．已知f（x）＝

（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证明：

f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a>

0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围．

解：

（1）证明：

任设x1<

x2<

－2，则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

.∵（x1＋2）（x2＋2）>

0，x1－x2<

0，∴f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2），∴f（x）在（－∞，－2）上单调递增．

（2）任设1<

x1<

x2，则f（x1）－f（x2）＝

.∵a>

0，x2－x1>

0，∴要使f（x1）－f（x2）>

0，只需（x1－a）（x2－a）>

0在（1，＋∞）上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是（0,1]．

12．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f

＝f（x1）－f（x2），且当x>

1时，f（x）<

0.

（1）求f

（1）的值；

（2）证明：

f（x）为单调递减函数；

（3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2,9]上的最小值．

（1）令x1＝x2>

0，代入得f

（1）＝f（x1）－f（x1）＝0.故f

（1）＝0.

任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1>

x2，则

1，

由于当x>

所以f

0，即f（x1）－f（x2）<

因此f（x1）<

f（x2）．

所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数．

（3）∵f（x）在（0，＋∞）上是单调递减函数．

∴f（x）在[2,9]上的最小值为f（9）．

由f

＝f（x1）－f（x2）得，f

＝f（9）－f（3）．

而f（3）＝－1，所以f（9）＝－2.

∴f（x）在[2,9]上的最小值为－2.

1．（优质试题·

德州市模拟）设偶函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f

（1）＝0，则不等式

0的解集为（　　）

A．（－1,0）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（0,1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,0）∪（0,1）

因为函数f（x）为偶函数，且在区间（0，＋∞）上是增函数，f

（1）＝0，所以函数f（x）在区间（－∞，0）上是减函数，且f（－1）＝0.由

0，可得

0，即

0，当x<

0时，f（x）<

0，即f（x）<

f（－1），解得－1<

x<

当x>

0时，f（x）>

0，即f（x）>

f

（1），解得x>

1.故不等式

0的解集为（－1,0）∪（1，＋∞）．

A

2．已知函数f（x）＝|x－1|＋m，g（x）＝－x2＋ex＋1，若对任意x1∈[－3，－1]，存在x2∈[－2,0]，使不等式f（x1）≤g（x2）成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≤

－10B．m≥

－12

C．m≥0D．m≤2

因为函数f（x）＝|x－1|＋m在区间[－3，－1]上为减函数，所以当x＝－3时，f（x）max＝m＋4.又由二次函数与指数函数的性质知g（x）＝－x2＋ex＋1在区间[－2,0]上为增函数，所以当x＝0时，g（x）max＝2.由题意知f（x）max≤g（x）max，即m＋4≤2，即m≤2.故选D.

D

3．（优质试题·

山西大同一中模拟）已知函数f（x）＝

若f（3－a2）<

f（2a），则实数a的取值范围是________．

作出函数f（x）的图象，如图，由图可知，函数f（x）为单调递减函数，∵f（3－a2）<

f（2a），∴3－a2>

2a，解得－3<

1.

（－3,1）

4．已知函数f（x）＝lg

，其中a是大于0的常数．

（1）求函数f（x）的定义域．

（2）当a∈（1,4）时，求函数f（x）在[2，＋∞）上的最小值．

（3）若对任意x∈[2，＋∞）恒有f（x）>

0，试确定a的取值范围．

（1）由x＋

－2>

0，得

0，

当a>

1时，x2－2x＋a>

0恒成立，定义域为（0，＋∞），

当a＝1时，定义域为{x|x>

0且x≠1}，

当0<

1时，定义域为{x|0<

1－

或x>

1＋

}．

（2）设g（x）＝x＋

－2，

当a∈（1,4），x∈[2，＋∞）时，g′（x）＝1－

0恒成立，所以g（x）＝x＋

－2在[2，＋∞）上是增函数．

所以f（x）＝lg

在[2，＋∞）上是增函数．所以f（x）＝lg

在[2，＋∞）上的最小值为f

（2）＝lg

（3）对任意x∈[2，＋∞）恒有f（x）>

即x＋

1对x∈[2，＋∞）恒成立．

所以a>

3x－x2，令h（x）＝3x－x2，

而h（x）＝3x－x2＝－

2＋

在x∈[2，＋∞）上是减函数，所以h（x）max＝h

（2）＝2.所以a>

2.

故a的取值范围是（2，＋∞）．