数理学院函授教学大纲Word下载.docx
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3、上限集，下限集。
4、映射.
5、集合的对等.
6、基数的概念和基数的比较。
7、可列集和不可列集.
（三）重点
1、基数
2、可列集
3、具有连续势的集
（四）难点
1、上限集与下限集
2、基数的比较。
二、勒贝格测度（第三章）（面授10学时,自学25学时）
1、掌握测度的概念,注意培养从定义出发建立数学理论体系的能力.
2、掌握L测度的一般性质.
1、约当测度简介.
2、有界点集的外测度与内测度,可测集的概念.
3、有界L可测集的性质.
4、无界集的测度.
5、不可测集。
1、外测度
2、测度的性质
1、不可测集
2、有关可测集的性质的证明
三、勒贝格可测函数（第四章）（面授10学时,自学25学时）
1、掌握可测函数的概念,理解可测函数的特征性质,掌握简单函数的有关性质.
2、掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念，并了解它们之间的关系．
1、可测函数的概念与性质
2、可测函数的构造
1、可测函数的概念
2、可测函数的特征性质
1．概念与概念之间的关系，特别是各种收敛之间的关系
四、勒贝格积分（第五章）（面授12学时,自学30学时）
1、掌握L积分的概念,理解L积分和R积分的关系.
2、掌握L积分的性质,对有关L积分的三个极限定理要理解,特别是Levi定理.
1、勒贝格积分的概念与勒贝格控制收敛定理.
2、勒维定理与勒贝格控制收敛定理.
3、黎曼积分与勒贝格积分的比较.
4、黎曼可积的充要条件.
1、L积分的定义。
2、L积分的性质。
3、黎曼可积的充要条件。
1、定理的证明。
2、黎曼积分与勒贝格积分的比较.
教材和参考书：
教材:
《实变函数与泛函分析基础》，程其襄，张奠宙，魏国强，阎革兴，钱自强，高等教育出版社。
参考书：
①《实函数论》，陈建功，科学出版社
②《实变函数与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社
③《实变函数与泛函分析》，张一鸣等，上海科学技术出版社
④《实变函数与泛函分析概要》，王声望、郑维行，高等教育出版社
⑤《实变函数与泛函分析》，薛昌兴，高等教育出版社
常微分方程
一、说明
常微分方程既是数学专业的一门基础课，同时也是该学科在近代发展方向的重要基础。
在长期不断的发展中，常微分方程日益成为人类研究自然界变化规律的有力工具，它体现了理论科学与应用科学相结合的特点，一直以来被认为是数学科学中最富有生命力的数学分支之一。
学习本课程，一般应具有数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等基础知识。
通过本课程的学习，使学员理解常微分方程的基本概念，掌握重要的基本理论，如解的存在唯一性定理、解对初值的连续依赖性定理、定性与稳定性定理、线性方程的通解结构定理等。
在学习过程中，学生应掌握本学科理论证明中所运用的一些重要思想方法。
如常数变易法、逐步逼近法等。
同时应培养学员如何从实际问题中建立常微分方程的分析问题和解决问题的能力，使学员认识到数学来源于实践又服务于实践，从而拓广数学视野，提高数学素质，有助于学员能胜任中学数学的教学及更深层次的进修。
本课程总学时为140学时，其中面授42学时，自学98学时。
通过第一章的学习，应掌握微分方程的基本概念，如，什么是微分方程，什么是微分方程的解，如何从实际问题建立微分方程（组）模型；
着重掌握如何判断方程的类型以及初等解法，特别是一阶性方程的常数变易法。
通过第二章的学习，应掌握重要的基本定理，如解的存在唯一定理，应理解解对初值的连续依赖定理，解对初值的可微性定理，尤为重要的是解的存在唯一性定理，要着重掌握用逐次逼近法证明该定理的思想方法及全过程。
通过第三章的学习，要求掌握线性方程组的解的结构定理及常系数方程组的解法，通过第四章的学习要求掌握线性方程解的结构定理和常系数方程的解法。
学习第三章和第四章时，应联系两章中相应的一些定义、性质、定理等内容，应该掌握第四章中的某些内容可由第五章推证，如定理4.1—定理4.7，可以说这些内容是第三章的特殊情形。
通过第五章的学习，应掌握有关常微分方程的定性理论和稳定性的初步知识，掌握奇点的
类型，及用李雅普诺夫方法（V函数方法）解决稳定性的思想方法。
二、大纲内容
第一章初等积分法（面授12学时，自学26学时）
1.微分方程的基本概念与实例（可再补充几例）
2.变量可分离方程，齐次方程
3.一阶线性方程，常数变易法
4.贝努利方程与黎卡提方程
5.全微分方程，积分因子
6.一阶隐式方程中的几类特殊类型的解法
7.几种可降阶的高阶方程的求解
8.一阶微分方程应用举例
第二章基本定理（面授8学时，自学22学时）
1.解的存在唯一性定理
2.解的延展及例
3.一阶微分方程的几何意义（积分曲线与线素场的关系）
4.奇解与包络，克莱罗方程
5.解对初值的连续依赖性和可微性
第三章一阶线性微分方程组（面授8学时，自学20学时）
1.一阶线性方程组的记号和定义，及解的存在唯一性叙述
2.一阶线性齐次方程组的一般理论
3.一阶线性非齐次方程组的一般理论，常数变易法求解
4.常系数线性齐次方程组的求解
第四章n阶线性方程（面授8学时，自学16学时）
1.n阶线性微分方程的一般理论
2.n阶常系数方程的解法
3.可化为常系数的变系数线性方程
4.二阶常系数线性方程的物理意义
5.幂级数解法大意
第五章稳定性与定性理论初步（面授6学时，自学14学时）
1.解的稳定性定义
2.基本定理（李雅普诺夫第二方法），线性近似理论
3.定性理论初步（相平面、轨线、奇点类型）
4.极限环
教材：
《常微分方程》魏俊杰潘家齐蒋达清编高等教育出版社
教学参考书：
《常微分方程》王高雄等编高等教育出版社1978
《应用常微分方程》金福临、阮炯、黄振勋编著复旦大学出版社1990
近世代数
说明：
近代数学是研究各种代数结构的一门学科，是现代数学的一个重要分支。
它的理论和方法已渗透到数学的很多方面，作为一种数学工具，它在近代物理、近代化学等科技领域中有着广泛的应用。
作为本科函授，主要是使学员获得一定的抽象代数的基本知识，拓广知识面，培养学生分析问题和解决问题的能力。
本课程主要讲授群、环、域等代数学中的一些基本概念，基本理论和研究代数的基本方法；
课程中若干内容以中学代数和高等代数方面的许多模型为背景，拓广了原有的概念，理论上更趋于完善，从而对中学代数起着指导作用。
通过本课程的学习，使学生在数学思维和逻辑论证方面接受严格的训练，提高其数学素质。
本大纲是根据部颁《中学教师进修高等师范数学专业本科教学计划》参照现行高等师范抽象代数教学大纲，并结合函授和业余进修的特点制定的。
本课程面授为42学时，自学100学时。
教学内容：
一、群（面授18学时，自学42学时）
群的理论是本课程的重要内容，是抽象代数的理论基础，在教学和其它自然科学中有较广泛的应用，通过本章学习，使学员对群的结构有初步的了解。
1．掌握代数运算、群、群的同态、子群、正规子群（不变子群）、陪集、商群等概念。
2．掌握用等价关系对集合的元进行分类这一重要的代数方法。
3．掌握拉格朗日（Lagrange）定理，理解（Cayley）定理的作用。
4．掌握群的同态基本定理
1．代数运算
定义、结合律、交换律。
2．群的概念
群的定义及简单性质，有限群、无限群、可换群的概念，群中元的阶。
3．子群
子群的定义，子群的判定、生成元、循环群
4．群的同态和同构
5．变换群
变换群的概念、凯莱定理。
6．置换群
置换的定义、乘法及性质，置换群，n次对称群，每一个有限群都同构于一个置换群。
7．等价关系和集合中元的分类
关系、等价关系及集合中元的分类的概念，以n为模的剩余类，群中元素的共轭类。
8．子群的陪集
陪集的概念，拉格朗日定理。
9．正规子群及商群
正规子群的概念，中心，换位子，商群。
10．同态基本定理
二、环和域（面授16学时，自学36学时）
本章研究具有两个代数运算的代数结构——环和域，它是抽象代数的基本内容，在数学中应用比较广泛，对中学代数的教学有一定的指导意义。
1．掌握环、域、子环、理想、商域等概念及其基本性质。
2．理解环的同态基本定理。
3．理解扩域的概念及一些基本性质。
1．环的定义及其性质
可换环，有单位元环，无零因子环和整环的概念，多项式环。
2．除环和域
有限域，域的特征，四元数除环。
3．子环和子域、环的同态和同构
4．理想
剩余类环，环的同态基本定理。
5．商域
6．域的扩张
素域、代数元、超越元、单扩域、扩域的次数
三、整环里的因子分解（面授8学时，自学22学时）
本章讨论整环中的因子分析问题，它是整数环中唯一分解定理的推广。
1．掌握唯一分解环，主要理想环和欧氏环的概念，了解它们之间的关系。
2．了解唯一分解环上的环多项式是唯一分解环
1．唯一分解环
整环、相伴、可逆元、素元和唯一分解环的定义，整环是唯一分解环的充要条件，最大公因子的定义及其存在唯一定理。
2．主理想环
主理想环的定义，主理想环是唯一分解环。
3．欧氏环
欧氏环的定义，欧氏环是主理想环。
4．多项式环的因子分解
唯一分解环上的多项式环仍为唯一分解环。
教材：
《近世代数》，赵淼清编
《近世代数》，张禾瑞编
概率论与数理统计
一、课程特点和教学目标
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，是数学与客观世界联系最密切、应用最广泛的学科之一。
本课程区别于其他课程的一大显著特点是其对随机现象的把握与刻划充满了辩证唯物主义哲学思辩的色彩。
通过本课程的教
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