河南中考数学总复习《第17讲相似三角形》同步讲练含答案.docx
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河南中考数学总复习《第17讲相似三角形》同步讲练含答案
第17讲 相似三角形
一、选择题
1．（2017·杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则（ B ）
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
2．（2017·兰州）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（ A ）
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
3．（2017·连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是（ D ）
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
第3题图 第4题图
4．（2017·西华县二模）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝2，DO＝4，BO＝3，则BC的长为（ B ）
A．6B．9C．12D．15
5．（2017·河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ D ）
A．增加了10%B．减少了10%
C．增加了（1＋10%）D．没有改变
6．（2017·枣庄）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ C ）
7．（2017·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（ C ）
A.
B.
C.
D.
8．（2017·泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（ B ）
A．18B.
C.
D.
二、填空题
9．（2017·湘潭）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE：
S△ABC＝ 1∶4 .
第9题图第10题图
10．（2017·北京）如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝ 3 .
11．（2017·杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于 78 .
第11题图 第12题图
12．（2017·内江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC,CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝
AB.若四边形ABCD的面积为
，则四边形AMCD的面积是 1 .
13．（2017·桂林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则
的值为
.
三、解答题
14．（2017·江西）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：
△EBF∽△FCG.
证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
15．（2017·泰安）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.
（1）证明：
∠BDC＝∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．
（1）证明：
∵AB＝AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°.
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ADC＋∠BDC＝90°.
∵PD⊥AD，
∴∠ADC＋∠PDC＝90°，
∴∠BDC＝∠PDC；
（2）解：
过点C作CM⊥PD于点M，如解图所示．
∵∠BDC＝∠PDC，
∴CE＝CM.
∵∠CMP＝∠ADP＝90°，
∠P＝∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴
＝
.
设CM＝CE＝x，
∵CE∶CP＝2∶3，
∴PC＝
x.
∵AB＝AD＝AC＝1，
∴
＝
，
解得x＝
.
∴AE＝1－
＝
.
16．（2017·杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
（1）求证：
△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求
的值．
（1）证明：
∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°.
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB.
∵∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：
由
（1）可知△ADE∽△ABC，
∴
＝
＝
.
由
（1）可知∠AFE＝∠AGC＝90°.
又∵∠EAF＝∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴
＝
，
∴
＝
.
一、选择题
1．（2017·兰州）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（ A ）
A．8.5米B．9米
C．9.5米D．10米
2．（2017·绥化）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：
①
＝
；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是（ D ）
A．①②③④B．①④
C．②③④D．①②③
3．（2017·牡丹江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE，AF分别交BD于点M，N，连接CN，EN，且CN＝EN.下列结论：
①AN＝EN，AN⊥EN；②BE＋DF＝EF；③∠DFE＝2∠AMN；④EF2＝2BM2＋2DN2；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是（ B ）
A．5B．4C．3D．2
4．（2017·绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4cm，则旗杆的高度等于（ B ）
A．10mB．12mC．12.4mD．12.32m
二、填空题
5．（2017·内江）如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF＝
，则CE＝
.
第5题图 第6题图
6．（2017·深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 3 .
三、解答题
7．（2017·宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
（1）求证：
△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：
FE平分∠DFC.
证明：
（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，
∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴
＝
.
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴
＝
.
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠EFC，
∴FE平分∠DFC.
8．（2017·毕节）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.
（1）求证：
△ABF∽△BEC；
（2）若AD＝5，AB＝8，sinD＝
，求AF的长．
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.
∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，
∴∠AFB＝∠C，
∴△ABF∽△BEC；
（2）解：
∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE＝90°.
在Rt△ADE中，AE＝AD·sinD＝5×
＝4.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE＝
＝
＝4
.
∵BC＝AD＝5，
由
（1）得△ABF∽△BEC，
∴
＝
，即
＝
，
解得AF＝2
.
9．（2017·天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
（1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：
△BPE≌△CQE；
（2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：
△BPE∽△CEQ；并求
当BP＝2，CQ＝9时BC的长．
（1）证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC.
∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ.
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE.
在△BPE和△CQE中，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：
连接PQ，如解图所示．
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，
∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴
＝
.
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，
∴BE2＝18，
∴BE＝CE＝3
，
∴BC＝6
.
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