高中数学必修三课时训练24线性回归方程含答案.docx
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高中数学必修三课时训练24线性回归方程含答案
数学·必修3（苏教版）
第2章统计
2．4 线性回归方程
1．下列关系中，是相关关系的有（ ）
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①②B．①③C．②③D．②④
解析：
根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．
答案：
A
2．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．－1B．0C.D．1
答案：
D
3．观察下列变量x，y的散点图：
如图所示的两个变量具有相关关系的是（ ）
A．
（2）（3）B．
（1）
（2）
C．
（2）（4）D．（3）（4）
解析：
（1）不具有相关关系；
（2）具有线性相关关系；（3）是函数表示；（4）是非线性相关关系，选C.
答案：
C
4．在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：
①对所求的回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是（ ）
A．①②⑤③④B．③②④⑤①
C．②④③①⑤D．②⑤④③①
解析：
根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x，y进行线性回归分析时，应先收集数据（xi，yi），然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.
答案：
D
5．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．
气温x（℃）
18
13
10
－1
用电量y（度）
24
34
38
64
由表中数据，得回归直线方程＝x＋，若＝－2，则＝________．
解析：
∵＝＝10，
＝＝40，
∴40＝－2×10＋，∴＝60.
答案：
60
6．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到的回归直线方程y^＝bx＋a，那么下面说法不正确的是________．
①直线y^＝bx＋a必经过点（x，y）；
②直线y^＝bx＋a至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点；
③直线y^＝bx＋a的斜率为；
④直线y^＝bx＋a与各点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的总偏差[yi－（bxi＋a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．
解析：
回归直线一定过点（x，y），但不一定要过样本点．
答案：
②
7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
138
205
285
360
（1）作散点图；
（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归线直线方程；
（3）估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数．
解析：
（1）见下图．
（2）由散点图可知y与x线性相关．设回归直线方程y^＝bx＋a，列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
6
8
10
yi
64
138
205
285
360
xiyi
128
552
1230
2280
3600
x＝6，y＝210.4，
xi2＝220，xiyi＝7790
∴b＝＝＝36.95.
∴a＝210.4－36.95×6＝－11.3.
∴回归方程为y^＝36.95x－11.3.
（3）当x＝9时，y^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321.
即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321.
8．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
解析：
儿子和父亲的身高列表如下：
父亲身高
173
170
176
儿子身高
170
176
182
设回归直线方程＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a＝y－bx＝176－173＝3，故回归直线方程为＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185cm.
答案：
185
9．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：
玩具个数
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
加工时间
4
7
12
15
21
25
27
31
37
41
若回归方程的斜率是b，则它的截距是________．
解析：
∵a＝－b，而由表中数据可求得＝11，＝22，∴a＝22－11b.
答案：
22－11b
10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据如下表所示：
x（0.01%）
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y（min）
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
（1）作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
（2）若x与y线性相关，求回归直线方程：
（3）预测当钢水含碳量为160（0.01%）时，应冶炼多少分钟？
解析：
（1）以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．
从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x与y线性相关．
（2）设所求回归直线方程为＝bx＋a.∵＝159.8，＝172，xiyi=287640.xi2=265448,∵b=≈1.267，a＝－b≈－30.47.故所求的回归直线方程为＝1.267x－30.47.
（3）当x＝160时，＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟．
11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：
年度
年收入x/亿元
皮鞋销售额y/万元
1971
32.2
25.0
1972
31.1
30.0
1973
32.9
34.0
1974
35.8
37.0
1975
37.1
39.0
1976
38.0
41.0
1977
39.0
42.0
1978
43.0
44.0
1979
44.6
48.0
1980
46.0
51.0
求y对x的回归直线方程．
解析：
序号
x
y
x2
xy
1
32.2
25
1036.84
805.0
2
31.1
30
967.21
933.0
3
32.9
34
1082.41
1118.6
4
35.8
37
1281.64
1324.6
5
37.1
39
1376.41
1446.9
6
38.0
41
1444.00
1558.0
7
39.0
42
1521.00
1638.0
8
43.0
44
1849.00
1892.0
9
44.6
48
1989.16
2140.8
10
46.0
51
2116.00
2346.0
Σ
379.7
391
14663.67
15202.9
b＝
＝
≈1.447.
a＝y－bx＝39.1－1.447×37.97≈－15.8426.
所以y对x的回归直线方程为：
y^＝1.45x－15.84.
12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学成绩/x
88
76
73
66
63
化学成绩/y
78
65
71
64
61
（1）画出散点图；
（2）求化学成绩（y）对数学成绩（x）的回归直线方程．
解析：
（1）散点图为：
（2）
序号
x
y
x2
xy
1
88
78
7744
6864
2
76
65
5776
4940
3
73
71
5329
5183
4
66
64
4356
4224
5
63
61
3969
3843
Σ
366
339
27174
25054
b＝＝≈0.624869，
a＝y－bx＝67.8－0.624869×73.2≈22.0596.
所以y对x的回归直线方程为y^＝0.62x＋22.06.
13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份201x（年）
0
1
2
3
4
人口总数y（十万）
5
7
8
11
19
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；
（3）据此估计2015年该城市人口的总数．
（参考数据：
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30）
解析：
（1）据表画出数据的散点图如下图所示．
（2）由表可知＝（0＋1＋2＋3＋4）＝2，＝（5＋7＋8＋11＋19）＝10.
∴b＝
a=-b=36
14．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：
时间t/s
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
深度y/μm
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
（1）画出散点图；
（2）试求腐蚀深度y与时间t的回归直线方程．
解析：
（1）如下图
（2）经计算可得
t≈46.36，y≈19.45，＝36750，＝13910.
b＝
＝
≈0.3.
a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.
故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.
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